如图,已知圆c (x+1)²+y²=8 定点d(1,0),m为圆c上一动点,点p在dm上,点n在cm

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 12:27:13

如图,已知圆c (x+1)²+y²=8 定点d(1,0),m为圆c上一动点,点p在dm上,点n在cm上,且np是dm的垂直平分线,点n的轨迹为曲线e,
（1）求曲线e的方程
（2）设直线l y=kx+2 与曲线e交于不同的两点AB,当三角形AOB面积取得最大值时,求k的值

(1)因为np是dm的垂直平分线,所以nm=nd nd+nc=nm+nd=r=2√2
即曲线e是以c(-1,0),d(1,0)为焦点,长轴长为2√2的椭圆 a=√2,c=1,b=1
方程为x^2/2+y^2=1
(2)设A(x1,y1) B(x2,y2)
联立方程得(y-2)^2+2(ky)^2-2k^2=0 即(2k^2+1)y^2-4y+4-2k^2=0
y1+y2=-b/a=4/(2k^2+1) y1*y2=c/a=(4-2k^2)/(2k^2+1)
因为有两交点,所以△=b^2-4ac=16-4(4-2k^2)(2k^2+1)=16k^4-24k^2>0则 k^2>3/2
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1*y2=(16k^4-24k^2)/(2k^2+1) ^2
(x1-x2)^2=(y1-y2)^2/k^2=(16k^2-24)/(2k^2+1) ^2
AB=√[(16k^2-24)(k^2+1)]/(2k^2+1)
O到直线的距离为2/√(k^2+1)
则S=|AB|*d/2=2√(4k^2-6)/(2k^2+1)
设4k^2=4x^2+6,(x>0) 则S=4x/(2x^2+4)=2/(x+1/x)≤2/2=1
当且仅当x=1/x即x=1时等号成立
此时k=±√10/2