（2007•奉贤区二模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，以AE为直径的⊙O与过B点的⊙P外切于点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/26 09:03:42

（2007•奉贤区二模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，以AE为直径的⊙O与过B点的⊙P

外切于点D，若AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两根，且25BC•sinA=9AB，
（1）求△ABC三边的长；
（2）求证：BC是⊙P的切线；
（3）若⊙O的半径为3，求⊙P的半径．

（1）∵AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两根，
∴AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²
∴∠C=90°，
∴sinA=
BC
AB，
∵25BC•sinA=9AB，
∴9AB²=25BC²
∴
BC
AB＝
3
5，
设BC=3k，AB=5k，则AC=4k，
∴4k+3k=5k+4，
∴k=2，
∴BC=6，AB=10，AC=8；

（2）证明：连接BP，PO，如图1，

∵⊙O与过B点的⊙P外切于点D，
∴D在OP上，
∵OA=OD，PD=PB，
∴∠A=∠ADO，∠PDB=∠PBD，
∴∠PBD=∠A，
∴PB∥AC，
∵∠C=90°，
∴PB⊥BC，
∴BC是⊙P的切线；

（3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，如图2，
∴PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，
在Rt△OPH中，
∴OP²=PH²+OH²，即（3+r）²=（5-r）²+6²，
解得r=
13
4．

如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,点D在AB上,以AD为直径的⊙O经过点E,且交AC于在rt三角形abc中角c等于90度,角bac的平分线ad交bc与点d点e是ab上一点,以ae为直径的⊙o过点d交ac于点（2011•丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点（2014•潮安区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．如图,已知点E在直角如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上,以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.（1）求证：A （2009•朝阳区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径的⊙o交BC于点D,过点D做DE⊥AC于点E.延长DE交BA的延长线于（2005•宿迁）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．（2013•石景山区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交B 如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，