作业帮xy''-y'-x^2=0求解微分方程
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 13:28:47
xy''-y'-x^2=0求解微分方程
最普通方法(想不到时,只能用这种呆方法,反正能做出来)
设x=e^t
dx=e^tdt
dy/dx=dy/[e^tdt]=1/e^t*dy/dt
y''=d[1/e^tdy/dt]/dx=d[1/e^tdy/dt]/[e^tdt]=[-1/e^t*dy/dt+1/e^t*dy^2/dt]/e^txy''=1/e^t(-dy/dt+dy^2/dt)设dy/dt=u
则代入原式:
-1/e^tu'+1/e^tu''-1/e^tu'-e^(2t)=0
u''-2u'=e^(3t)
齐次方程:u''-2u'=0的特征方程:r^2-2r=0 r=2 or r=0
齐次方程通解:u=c1e^(2t)+C2e^3t中3不是特征根的解,u*=ae^(3t)
u'=3ae3^t
u''=9ae^3t代入得:9a-2*3a=1 a=1/3
故通解为:C1e^(2t)+1/3e^(3t)+C2
即解为y=1/3x^3+c1x^2+c2
第二种方法,凑数法：
(y'/x)'=（xy''-y'）/x^2
xy''-y'=x^2(y'/x)'代入原式
x^2(y'/x)'-x^2=0
(y'/x)'=1
y'/x=x+C
y'=x^2+cx
y=1/3x^3+C1x^2+C2
再问： 第二种方法，中的y'=x^2+cx,为什么y中x^2前面系数不是1/2C1 ？
再答： 哈哈！ y'=x^2+Cx c是一常数。 y=1/3x^3+1/2Cx^2+C2 1/2C还是一常数，故设：1/2C=C1 故：y=1/3x^3+c1x^2+C2 一般有两个常量相*，其中一个未知，故看成一个未知数。
设x=e^t
dx=e^tdt
dy/dx=dy/[e^tdt]=1/e^t*dy/dt
y''=d[1/e^tdy/dt]/dx=d[1/e^tdy/dt]/[e^tdt]=[-1/e^t*dy/dt+1/e^t*dy^2/dt]/e^txy''=1/e^t(-dy/dt+dy^2/dt)设dy/dt=u
则代入原式:
-1/e^tu'+1/e^tu''-1/e^tu'-e^(2t)=0
u''-2u'=e^(3t)
齐次方程:u''-2u'=0的特征方程:r^2-2r=0 r=2 or r=0
齐次方程通解:u=c1e^(2t)+C2e^3t中3不是特征根的解,u*=ae^(3t)
u'=3ae3^t
u''=9ae^3t代入得:9a-2*3a=1 a=1/3
故通解为:C1e^(2t)+1/3e^(3t)+C2
即解为y=1/3x^3+c1x^2+c2
第二种方法,凑数法：
(y'/x)'=（xy''-y'）/x^2
xy''-y'=x^2(y'/x)'代入原式
x^2(y'/x)'-x^2=0
(y'/x)'=1
y'/x=x+C
y'=x^2+cx
y=1/3x^3+C1x^2+C2
再问： 第二种方法，中的y'=x^2+cx,为什么y中x^2前面系数不是1/2C1 ？
再答： 哈哈！ y'=x^2+Cx c是一常数。 y=1/3x^3+1/2Cx^2+C2 1/2C还是一常数，故设：1/2C=C1 故：y=1/3x^3+c1x^2+C2 一般有两个常量相*，其中一个未知，故看成一个未知数。
【【求解微分方程】】xy'+y=x^2+3x+2
求解微分方程 x^2*dy/dx=xy-y^2
微分方程求解 (x^2y^3+xy)dy=dx
求解一个微分方程：（2x·y^2-y)dx+(y^2+xy)dy = 0
求解微分方程（xy^2+x）dx+(y-x^2y)dy=0,y(2)=1的通解
求解微分方程csc(x^2+y^3)dx+2x^2dx+3xy^2dy=0
求解微分方程(1+X平方)y‘-2xy=1+x平方的通解
求解微分方程dy/dx=2xy,满足初始条件:x=0,y=1的特解
求解微分方程(1+y方)dx-xy(1+x方)dy=0
高数中微分方程求解求微分方程y'cos^2x+y-tanx=0的通解
求解微分方程 2ydx+(y^3-x)dy=0
解微分方程 (y')^2+xy'+x-1=0