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设函数f(x)=x−1x,对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是(  )

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 06:21:48
设函数f(x)=x−
1
x
∵函数f(x)=x−
1
x,f(2mx)+2mf(x)<0

8m2x2−(1+4m2)
2mx<0
①m>0,x≥1,∴8m2x2-(1+4m2)<0,∴x2<
1+4m2
8m2
∵x≥1,∴对一切x≥1,不可能始终满足条件;
②m<0,x≥1,∴8m2x2-(1+4m2)>0,∴x2>
1+4m2
8m2
∵x≥1,∴1>
1+4m2
8m2,∴m<-
1
2或m>
1
2
∵m<0,∴m<-
1
2
故选A.