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如图:四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点M,且AC⊥AB,BD⊥CD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 19:41:19
如图:四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点M,且AC⊥AB,BD⊥CD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F.
求证:(1)△AMB∽△DMC;
(2)AB2=BF•BD.
证明:(1)∵AC⊥AB,BD⊥CD,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
又∵∠AMB=∠DMC,
∴△AMB∽△DMC;
(2)∵AC⊥AB,BD⊥CD,
∴∠BAC=∠BDC=90°,即A、B、C、D四点共圆,
∴∠CAD=∠CBD,又由AE⊥BC,
∴∠AEB=∠BAC,∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB,
∴∠BAD=∠BFA,∠FBA是公共角,
∴△BAD∽△BFA,

BD
AB=
AB
BF,
∴AB2=BF•BD.