已知圆O1,圆O2外切于P,AB是两圆的外公切线,切点为A,B连心线O1O2叫圆O1于C,交圆O2于D,CA和DB的延长

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 15:07:48

已知圆O1,圆O2外切于P,AB是两圆的外公切线,切点为A,B连心线O1O2叫圆O1于C,交圆O2于D,CA和DB的延长线相交Q
求证：CQ垂直于DQ,△ABQ相似于△DCQ

证明：∵圆O1,圆O2外切于P
∴可以通过P作两圆的公切线,设此公切线为PR,与AB交于R点
∵AB是两圆的外公切线
从而根据圆的切线性质,得 RA=RP,RB=RP
∴∠RAP=∠RPA ① ∠RBP=∠RPB ②
①+②得 ∠RAP+∠RBP=∠RPA+∠RPB
∵∠RAP+∠RBP+∠RPA+∠RPB=180度
∴∠RAP+∠RBP=∠RPA+∠RPB=180度/2=90度
又PC,PD 是圆O1,圆O2的直径
∴∠PAC=90度(直径上的圆周角是直角),∠PBD=90度(直径上的圆周角是直角)
从而 ∠PAQ=180度-∠PAC=180度-90度=90度
∠PBQ=180度-∠PBD=180度-90度=90度
得到 ∠Q=360度-∠PAQ-∠PBQ-∠RPA-∠RPB
=360度-90度-90度-90度
=90度
∴CQ垂直于DQ
在三角形ABQ中
∠QAB=180度-∠BAO1-∠CAO1 ①
∵B是两圆的外公切线,AO1是圆O1的半径
∴根据公切线性质,得 ∠BAO1=90度 ②
又AO1,CO1是圆O1的半径
∴∠CAO1=∠ACO1 ③
由①②③得 ∠QAB=180度-∠BAO1-∠CAO1
=180度-90度-∠ACO1
=90度-∠ACO1 ④
在直角△DCQ中
∠QDC=90度-∠QDC ⑤
又∠ACO1=∠QDC ⑥
由④⑤⑥得 ∠QAB=∠QDC
又∠AQB=90度=∠CQD
∴△ABQ相似于△DCQ（两个角分别对应相等的两个三角形相似）

右图,圆O1与圆O2外切于点P,AB是圆O1和圆O2的外公切线.A,B是切点.A,B与连心线O1O2的延长线相交于点C. 1.已知：⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,切点分别是B、C,两圆的内公切线交BC于点D,求证：请教一道初中数学题如图,已知：圆O1与O2外切于A,BC是圆O1和圆O2的公切线,切点为B.C,连接BA并延长交圆O1于如图,已知圆O1与圆O2外切,外公切线AB与圆O1,O2分别相切于A,B两点,AB与O1O2的夹角P=30度.若O1O2 已知圆O1与圆O2外切于C,半径分别为3R和R,AB为外公切线,A、B为切点,求外公切线与弧AC、BC围成的图形的面积数学题看补充已知圆O1与圆O2外切于点A,BC是两圆的外公切线,B、C为切点,AT为内公切线,AT与BC相交于点T.延长如图,已知圆O1,O2 相交于A,B两点延长圆O1直径CA叫圆O2于点D,延长O1的弦CB交O2于点E,已知AC=6, 已知圆o1和圆o2相交于A、B两点,点o2在圆o1上,AD为圆o2的直径,连结DB,并延长交圆o1于C,求证:CO2⊥A 已知：如图，圆O1与圆O2外切于点P，经过圆O1上一点A作圆O1的切线交圆O2于B、C两点，直线AP交圆O2于点D，连接已知圆o1和圆o2外切于C,直线AB分别切圆O1和O2 于B,A,AC的延长线交O1于D,AC:CD=1:3 求角ABC 如图,圆心O1和圆心O2是等圆,P是O1O2的中点,过P作直线AD交圆心O1于A,B,交圆心O2于C,D,求证：AB=C 如图,圆O1和圆O2是等圆,P是O1O2的中点,过P作直线AD交圆O1于点A、B,交圆O2于C、D,求证：AB=CD.