如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y都满足f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2,则称这个函数是下凹函

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 10:16:14

如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y都满足f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2,则称这个函数是下凹函数,请问
如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y都满足f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2,则称这个函数是下凹函数.请问函数f(x)=x^3是否是下凸函数?
用图象法怎么解我已经知道了,我想请问,用代数如何推导得出结论?不是）

对于像y=x^3这样光滑的曲线,利用二阶求导便可以解决凹凸性问题,若一个函数存在二阶导数,若y''>0,为凹函数；y''
再问：谢谢你！这是大学自主招生的一道题目，导数我们没有教过，看来我得尽快自学一下。我还有一些困惑—— 1、百度百科上说“求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。”和你说的不一样耶，到底哪个对呀？ 2、如果直接用定义，代进去死算呢？我算下去发现没有办法化简，可能有些公式还没教过，你能试一试吗？
再答：先回答你的第一个问题：如果二阶导数>0，说明一阶导数是单调递增的函数，那么原来函数从图像上来看，就表现为往上翘，所以此时当然是凹函数啊，所以估计你查的那个有问题，这些东西我用的很多了，应该问题不大！在回答你的第二个问题：关于凹凸函数的定义有好多，你要用定义的话，首先你要明确你用哪个定义！这很关键，因为定义这类东西如同公理一样，是不证自明的，你证出定义式就相当于你已证完，所以你选择的定义应该是普遍为大家所公认的，而不要选择那些经过复杂变化而得来的定义！按照你给的题目，上面那个表达式f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2就是凹函数的定义，而题目的意思就是让你用定义算，而不实用导数，所以这个题就考察你的不等式化简能力吧！至于导数的那些东西，上大学时，大部分专业都会学的。再补充一点：你所谓的图像法是不能用作一种证明方法的，你怎么知道你的图像时正确的呢，你得证明你的图画的没问题！所以，所谓图像法这种东西只能帮助自己做感性理解，而不可用到答题中！
再问：谢谢你详细的回答！你说的是对的。首先，我断章取义了。百度百科后面还有这么一句话——“与百度百科凸函数（下凸）对比，这里的凹函数（上凸）应：如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。” 第二，嗯，我觉得它出这个考题的目的，还是为了考察学生课外对于导数的掌握程度。确实，再不等式化简太繁复了。第三，呵呵，这其实本来是一道选择题，只是我把证不出的一个选项单独挑了出来。

定义在区间【-2,2】上的函数分(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对任意x,y∈【-2,2】恒成立若函数f(x),对于定义域内的任意数x,y都满足(xy)=f(x)f(y),则称f(x)具有乘法性质已知定义在R上的函数f(x)满足：1对任意的x、y属于r,都有f(x)+f(y)=f(x+y);2当x＜0时,有f(x) 已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）= 定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f（0）≠0,判断f（x 定义在R上的函数f(x)对任意x,y属于R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,判断f(x 设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立求已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x2,证明x 定义在【-2,2】上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对任意x,y【-2,2】恒成立定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log以2为底3的对数且对任意x y 都有f(x+y)=f(x)+f（y) 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log底数是2对数是3且对任意x、y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y 定义在R上的函数f（x）,对任意的x.y属于R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)不等于0.求证