已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 23:36:10

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

＝x

（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函数，则f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故
lnx
f(x)＝
lnx
x＝x2−2ex+m，
令f1(x)＝
lnx
x，f2(x)＝x2−2ex+m，则
f′1(x)＝
1−lnx
x2，
当x∈（0，e）时，
f′1(x)≥0，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，
f′1(x)≤0，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，[f1(x)]max＝f1(e)＝
1
e，…．…..（8分）
而f2(x)＝(x−e)2+m−e2，结合函数图象可知：
当m−e2＞
1
e，即m＞
1
e+e2时，方程无解；
当m−e2＝
1
e，即m＝
1
e+e2时，方程有一个根x=e；
当m−e2＜
1
e，即m＜
1
e+e2时，方程有两个根．…..…..…．（12分）