设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为4,点M（2,√2）在椭圆上,设动直线L交椭圆E于A,B两点,且OA⊥

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:27:35

设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为4,点M（2,√2）在椭圆上,设动直线L交椭圆E于A,B两点,且OA⊥OB,求△OAB的面积的取值范围（已算出AB始终与x^2+y^2=8/3相切,最好能接着做下去,给出另一种证明也可,接着做最好哈,

参数方程法：
易求得椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1,从而可令A(2√2cosα,2sinα),A(2√2cosβ,2sinβ),
由向量OA垂直于向量OB得 8cosαcosβ+4sinαsinβ=0,当A、B均不在坐标轴上时,sinαsinβcosαcosβ≠0,于是可得tanα=-2/tanβ,
由此得到cos^2α=(1-cos^2β)/(1+3cos^2β),此式当A或B在坐标轴上时仍成立.
令三角形OAB的面积为S,则
S^2=1/4|OA|^2*|OB|^2=1/4(8cos^2α+4sin^2α)(8cos^2β+4sin^2β)=4(cos^2α+1)(cos^2β+1)
=8(1+cos^2β)^2/(1+3cos^2β),
令cos^2β=x,f(x)=1/8S^2=(1+x)^2/(1+3x),x∈[0,1],
因为 f'(x)=(x+1)(3x-1)/(1+3x)^2,令f'(x)=0,得x=1/3,
当0≤x0,且f(0)=f(1)=1,
所以 f(x)min=f(1/3)=8/9,f(x)max=f(0)=1,所以 8/9≤1/8S^2≤1
从而得到 8/3≤S≤2√2.

设椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,过椭圆外一点m（0,2）作直线l交椭圆与A,B两点椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+ 椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,e=√3/2,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点,|PQ|=20/9,且OP⊥O 已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=( 已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3, 数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满设椭圆中心在坐标原点,焦点在X轴上,离心率为E=2分之根号2,它与直线Y＝-X-1相交于A,B 两点,OA垂直于OB, 椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且△AOB的面积等于2/3 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过他的右焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使OA向量加O 椭圆中心为原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且三角形AOB的面积=2/3, 1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上,斜率为t且过椭圆右焦点P2的直线交椭圆于A,B两点.向量OA＋向量OB于向