作业帮有关线代的问题矩阵A的秩是a,请问A的转置乘A的秩是不是还等于a,请问这是为什么还有就是还有没有类似的结论,请列举,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 05:31:31
有关线代的问题
矩阵A的秩是a,请问A的转置乘A的秩是不是还等于a,请问这是为什么
还有就是还有没有类似的结论,请列举,
矩阵A的秩是a,请问A的转置乘A的秩是不是还等于a,请问这是为什么
还有就是还有没有类似的结论,请列举,
如果A是实矩阵,对!
用证明齐次线性方程组同解的方法
A'是A的转置矩阵
显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之,若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).
同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')
而 r(A') = r(A)
所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').
用证明齐次线性方程组同解的方法
A'是A的转置矩阵
显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之,若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).
同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')
而 r(A') = r(A)
所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').
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