（2007•青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:10:11

（2007•青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=
1
2BP，
即t=
1
2（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=
1
2BQ，
3-t=
1
2t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=
PM
PB，
∴PM=PB•sin∠B=

3
2（3-t），
∴S_△PBQ=
1
2BQ•PM=
1
2•t•

3
2（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=
1
2×3×（3×

3
2）-
1
2•t•

3
2（3-t），
=

3
4t²-
3
3
4t+
9
3
4，

∴y与t的关系式为y=

3
4t²-
3
3
4t+
9
3
4，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的
2
3，
则S_{四边形APQC}=
2
3S_△ABC，
∴

3
4t²-
3
3
4t+
9
3
4=
2
3×
1
2×3²×