请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 04:17:05

请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题
证明：设f(x)为可导的偶函数,即f(x)=f(-x)；同时g(x)为f(x)的导函数.
对于任意的自变量位置x,有 g(x)=lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}
g( -x)=lim(dx→0){[f( -x+dx) - f(-x)]/dx}= lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx}

所以,lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}= - lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx}
即 g(x)= -g(-x) 故命题成立

请问各位,这里为什么说lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}= - lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx} 呢?
还有,我刚刚导出了 lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x-dx)]/dx} 但它的结果为0吗?谢谢

可以给你一个更简单的证明,你看是否对?
∵f(x)是可导的偶函数 ∴ f(-x)=f(x)
两断求导得：-f'(-x)=f'(x) 即f'(-x)=-f'(x)
∴f'(x)是奇函数.
再问：谢谢，我还想问下，你所说的“两断求导得：-f'(-x)=f'(x) 即f'(-x)=-f'(x)”是怎么回事？
再答：是两端，打错了
再问：还是每太明白，为什么两端求导后会得出 -f'(-x)=f'(x)呢？
再答：右端求导没啥好解释，就是f'(x)。左端求导利用复合函数求导，先对-x求导，再乘以-x对x求导得-1，所以右边导数为-f'(-x)。从而有：-f'(-x)=f'(x) 即f'(-x)=-f'(x)，也就完成证明了。

请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题证明：可导的偶函数的导数是奇函数；可导的奇函数是偶函数. 证明可导的奇函数的导数是偶函数证明：可导的偶函数的导数是奇函数? 求证：可导的奇函数其导数函数是偶函数证明偶函数的导函数是奇函数,证明奇函数的导函数是偶函数.如果不行,能怎么来呢? 用定义证明导数命题用定义证明:可导的偶函数其倒函数是奇函数. 求证明微积分导函数的题.(1)证明偶函数的导函数是奇函数.(2)证明奇函数的导函数是偶函数. 奇偶函数导数问题是不是奇函数的导数是奇函数,偶函数的导数是偶函数啊?最好能证明一下可导奇函数的导数是什么函数?那可导偶函数的函数奇函数么? 求证：可导的奇函数其导数函数是偶函数过程详细点谢谢设下面所考虑函数的定义域关于原点对称：证明（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数