作业帮问一个高等数学的问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 18:25:36
问一个高等数学的问题.
已知f(x)在负无穷到正无穷内可导,且lim(x→0)f'(x)=e^2,
lim(x→0)[(x+a)/(x-a)]^x=lim(x→0)[f(x)-f(x-1)]
求a
已知f(x)在负无穷到正无穷内可导,且lim(x→0)f'(x)=e^2,
lim(x→0)[(x+a)/(x-a)]^x=lim(x→0)[f(x)-f(x-1)]
求a
题目有误!x→0应该为x→∞
a＝1
lim(x→∞)[(x+a)/(x-a)]^x
＝lim(x→∞)[(1+a/x)/(1-a/x)]^x
＝lim(x→∞)[(1+a/x)^x / (1-a/x)^x]
＝lim(x→∞) (1+a/x)^x / lim(x→∞)(1-a/x)^x
＝lim(x→∞) [(1+a/x)^(x/a)]^a / lim(x→∞)[(1+(-a/x))^(-x/a)]^(-a)
＝e^a / e^(-a)＝e^(2a)
使用微分中值定理,lim(x→∞)[f(x)-f(x-1)]＝lim(x→∞) f'(ξ)＝lim(ξ→∞) f'(ξ)＝e^2
所以,e^(2a)＝e^2,a＝1
a＝1
lim(x→∞)[(x+a)/(x-a)]^x
＝lim(x→∞)[(1+a/x)/(1-a/x)]^x
＝lim(x→∞)[(1+a/x)^x / (1-a/x)^x]
＝lim(x→∞) (1+a/x)^x / lim(x→∞)(1-a/x)^x
＝lim(x→∞) [(1+a/x)^(x/a)]^a / lim(x→∞)[(1+(-a/x))^(-x/a)]^(-a)
＝e^a / e^(-a)＝e^(2a)
使用微分中值定理,lim(x→∞)[f(x)-f(x-1)]＝lim(x→∞) f'(ξ)＝lim(ξ→∞) f'(ξ)＝e^2
所以,e^(2a)＝e^2,a＝1