求函数解析式(菜鸟勿扰)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/06/04 13:00:19

求函数解析式(菜鸟勿扰)
f（x）在（0,+∞）上连续,f'（1）=2,且x,y>0,满足
f（xy）=xf(y)+yf(x),求f（x）
f'（1）=2,是一阶导数，可能看不清楚

f（xy）=xf(y)+yf(x)两边对x求导得：
y*f'(xy)=f(y)+yf'(x)
取x=1得
y*f'(y)=f(y)+y*2
y*f'(y)-f(y)=y*2
f'(y)/y-f(y)/y^2=2/y
(f(y)/y)'=2/y
两边积分
f(y)/y=2*ln(y)+c （c为待定常数）
f(y)=2*y*ln(y)+c*y
两边求导
f'(y)=2*ln(y)+2+c
取y=1得
2=2*ln(1)+2+c
则c=0
于是得到f(x)=2*x*ln(x)

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