为什么矩阵和其转置乘积是满秩的方阵,这个矩阵不是方阵

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 02:21:16

没看明白,AA^T满秩,AA^T必是方阵,你是指A不是方阵?
再问：对，A不是方阵，但为什么AA^T满秩
再答： A是m*n的，A^T是n*m的，AA^T是m*m的，要想满秩，必须A的秩是m，且n>=m才行，否则不成立。证明很简单：设AA^Tx=0，则x^TAA^Tx=0，即(A^Tx)^T*(A^Tx)=0，于是必有向量A^Tx=0，由于A^T的秩是m=未知量的个数，因此A^Tx=0只有零解，于是AA^Tx=0只有零解，故AA^T的秩是m，满秩。

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