如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/16 05:08:11
如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD.
(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;(2)当△APQ为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;
(3)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;(2)当△APQ为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;
(3)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;矩形的性质.
专题:探究型.
分析:(1)假设存在一点P,使点Q与点C重合,再设AP的长为x,利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长,再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC,△APD∽△BQP,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式;
(3)连接DQ,把四边形PQCD化为两个直角三角形,再用m表示出PD及CQ的长,利用三角形的面积公式即可解答.
(1)存在点P.
假设存在一点P,使点Q与点C重合,如图1所示,设AP的长为x,则BP=10﹣x,
在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(10﹣x)2,
在Rt△PCD中,CD2=DP2+PC2,即102=42+x2+42+(10﹣x)2,
解得x=2或8,
故当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合,此时AP=2或8;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,
∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴ = ,即 = ①,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠BPQ=90°,
∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°,
∴∠APD=∠BQP,
∴△APD∽△BQP,
∴ = ,即 = ②,
①②联立得,BQ= ;
(3)连接DQ,
设AP=x,由(1)知在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(m﹣x)2,
若△PQD为等腰三角形,则42+x2=42+(m﹣x)2,
解得x= ,
∵BQ= ,
∴CQ=4﹣ = ,
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ,
即S= × × + × ×m= (m>4).
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图比较大
直接给网址
专题:探究型.
分析:(1)假设存在一点P,使点Q与点C重合,再设AP的长为x,利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长,再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC,△APD∽△BQP,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式;
(3)连接DQ,把四边形PQCD化为两个直角三角形,再用m表示出PD及CQ的长,利用三角形的面积公式即可解答.
(1)存在点P.
假设存在一点P,使点Q与点C重合,如图1所示,设AP的长为x,则BP=10﹣x,
在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(10﹣x)2,
在Rt△PCD中,CD2=DP2+PC2,即102=42+x2+42+(10﹣x)2,
解得x=2或8,
故当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合,此时AP=2或8;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,
∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴ = ,即 = ①,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠BPQ=90°,
∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°,
∴∠APD=∠BQP,
∴△APD∽△BQP,
∴ = ,即 = ②,
①②联立得,BQ= ;
(3)连接DQ,
设AP=x,由(1)知在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(m﹣x)2,
若△PQD为等腰三角形,则42+x2=42+(m﹣x)2,
解得x= ,
∵BQ= ,
∴CQ=4﹣ = ,
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ,
即S= × × + × ×m= (m>4).
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图比较大
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如图在矩形ABCD中AD=4 AB=m (m大于4) 点P式AB上的任意一点(不与点A点B重合)连接PD 过点P作PQ垂
如图在矩形ABCD中AD=4 AB=m (m大于4) 点P式AB上的任意一点(不与点A点B重合)连接PD
如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合)过点P作PE⊥BC,垂足
如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是边BC上的一点且不与点B、C重合,连接AP交对角线BD于点O,若点P关
(2012•宁夏)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作A
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如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是BC上与B、C不重合的任意一点,设PA=x,点D到AP的距离为y,求y
原题:如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是BC上与B、C不重合的任意一点,设PA=x,点D到AP的距离为y
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