如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 12x+b（b＞0）分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB…

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 01:44:58

如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 12x+b（b＞0）分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB……
如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 12x+b（b＞0）分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB,D为BC的中点．以M（4,0）,N（8,0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式．
（3）若在直线y=- 12x+b（b＞0）上存在点Q,使∠OQM等于90°,请直接写出b的取值范围．
（4）在b值的变化过程中,若△PCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的b值．

1）由已知可以得到A(2b,0) ,B(0,b) ,C(2b,b) ,D(b,b) CD=b
因为以M(4,0)N(8,0)为斜边的等腰直角三角形△PMN,底边的高和底边中线重合,所以高等于1/2斜边的长,易得 P（6,2）.
2）矩形OABC与三角形PMN重叠部分是四种不同情况,
第一：没重合,S=0 （2≥b＞0,OM≥OA)
第二：重合部分是一个以MA为直角边的等腰直角三角形,MA=(2b-4),
S=1/2 ×MA²=1/2(2b-4)² (3≥b＞2)
第三：重合部分是△PMN 减去以AN为直角边的等腰直角三角形的那部分,AN=8-2b,S=4-1/2(8-2b)² (4＞b＞3)
第四：当b≥4时,重合部分是△PMN,S=4
,设Q（x,b- 1/2x),因为∠OQM=90°,O(0,0),M(4,0)所以OQ²+QM²=OM²,
即[ X²+（b- 1/2x)²]+[（x-4）²+（b- 1/2x)²]=4 ²,
整理得5/2X²-(2b+8)X+2b²=0,5/4X²-(b+4)X+b²=0,
根据题意这个方程必须有解,也就是判别式△≥0,即(b+4)²-5b²≥0,-b²+2b+4≥0,b²-2b-4≤0,可以解得 1-√5≤b≤1+√5,由于b＞0,所以0＜b≤1+√5.
4）,△PCD为等腰三角形可分为三种情况：P（6,2）,C(2b,b) ,D(b,b)
第一：CP=DP,（6-2b）²+（2-b）²=（6-b）²+（2-b）²所以b=4
第二：CD=CP 则b²=（6-2b）²+（2-b）² ,b²-7 b+10=0,,解得 b=5（b=2时PCD在一条直线上,不符,舍去）
第三：CD=DP 则b²=（6-b）²+（2-b）²,解得 b=8-2√6 （ b=8+2√6,不符,舍去）