一道二重积分的题求∫∫(D)√(R^2-x^2-y^2)dxdy,D是x^2+y^2=Ry所围的区域这道题我会做,可是做

一道二重积分的题
求∫∫(D)√(R^2-x^2-y^2)dxdy,D是x^2+y^2=Ry所围的区域
这道题我会做,可是做的时候有个地方不太明白.我是把他化作极坐标积分,可是一开始我用的区间是0

这道题我觉得用你的第一种方法解答是正确的,而第二种方法反而有问题,我用第一种方法算出来的答案是πR³/3,不知道对不对,如果和答案一致,就证实了我的判断,我会解释我的看法,如果不一致,那么我对这个答案持保留态度.
再问： 首先说一下，我用第一种方法做的结果和你一样，也是πR³/3,可是答案是πR³/3-4R³/9,我觉得第二种方法没问题啊，你觉得哪有问题？我觉得两种方法都可以，可是不知道为什么算的结果不一样，照理说0到π/2和π/2到π上的积分，根据对称性应该相等，可是好像算出来不一样，不晓得是不是我算的有问题
再答： 利用二重积分的性质可以将D拆成两部分，也就是把θ拆成[0,π/2]和[π/2，π],r不变，而接下来应该求两个二重积分的和，不是用2乘以θ在[0,π/2]的那个二重积分，如果这样做就默认了[0,π/2]和[π/2，π]这两个二重积分是相等的，但我认为它们并不能默认为相等，因为D区域是一个平面区间，相当于一重积分中的[a,b]，二重积分中似乎没有因为D区域对称就能判断对应的二重积分相等的结论，就好比在一重积分中，求y=x²在[0,1]上的定积分，结果因为[0,1]可以拆成[0，0.5]和[0.5，1]这两个对称区间，就将定积分表示为2∫（0，0.5）x²dx，毫无疑问这样计算的结果是错误的，这道题要拆也要列出[0，0.5]和[0.5，1]的定积分之和，而不能因为区间对称而提取2，当然如果换一个被积函数，比如y=1,这样一来用提取2的做法算得的答案又是正确的，但总的来说用这种方法计算具有偶然性，不普遍适用。
再问： 当然不能说分出的两个区间关于y轴对称就认为所求积分等于0到π/2上积分的两倍，可是这个函数关于x是偶函数，如果一个二元函数积分区域关于y轴对称，而这个二元函数又关于x是偶函数那就可以化为两倍，关于x是奇函数那结果就肯定是0了，这和一元函数偶函数奇函数的积分性质一样。所以我觉得第二种方法是对的
再答： 是我误解了，没有想到是利用奇偶性提取2，这道题的确可以用第二种方法做，答案也应该是第二种的答案，而第一种方法我原来做的πR³/3是错的，但不是计算上的错误，光按照计算的确可以算得πR³/3，真正的错误是逻辑上的，因为在用第一种方法做的时候，为了去掉√（R²-r²）中的根号，我们会利用三角代换设r=Rsinφ，这是一个普通的变换，但人们比较容易忽略这个设置的φ是有范围的，取值在[0,π/2]，这个区间很重要，而在下面的解答中，要时刻注意这个φ的取值范围，后面用牛顿-莱布尼茨公式解右边dφ时，φ取了θ的值，那么θ就继承了φ的取值范围，而最后解关于dθ的定积分时，积分号的上限为π，这也是最初选择没有分割D区域留下的痕迹，这时如果不注意θ的取值范围已经变成了[0,π/2],就会用牛莱公式用θ取π的值，得到πR³/3的答案，而注意了之后，就会发现无法计算下去，因为积分区间已经大于积分变量的取值范围了。但在第二种方法中，由于分割了D区域，使得θ的积分上限一开始就设定为π/2，算到后面时刚好与θ的取值范围一致，θ可以取到π/2，所以能计算下去，算出答案。
再问： 呃……不好意思最后你的分析不太明白，我算积分的时候没有换元，而是用的凑微分，把∫r√(R²-r)dr变成1/2∫√(R²-r²)dr²做的，这样做问题在哪可以解释一下吗