已知函数f(x)=x-1-alnx (a∈R).求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 14:30:48
已知函数f(x)=x-1-alnx (a∈R).求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
②必要性
f'(x)=1-a x =x-a x ,其中x>0
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a=1
在上面证明必要性的过程中,“∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾”是什么意思?为什么a≠1时,有f(a)<f(1)?
②必要性
f'(x)=1-a x =x-a x ,其中x>0
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a=1
在上面证明必要性的过程中,“∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾”是什么意思?为什么a≠1时,有f(a)<f(1)?
当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
由导数知f(a)为最小值
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
由导数知f(a)为最小值
已知函数f(x)=x2+|x+a|+b(x∈R),求证:函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.
已知函数f(x)=x-1-alnx,a>0,对于x>0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x-1/x,g(x)=alnx(a∈R)
已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),若f(x)≤x^2恒成立,求实数a的取值范围
21、已知函数f(x)=alnx-x+1,a∈R(1)若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求所有实数a的值; 此题
已知函数f(x)=√(x+1)-alnx(a∈R),求f(x)的单调区间
已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+0.5x^2,(a属于R),已知f(x)>=0时,对定义域内的任意x恒成立,求
已知函数f(x)=x2-x+alnx(x≥1),若f(x)≤x2恒成立,求实数a的取值范围?
已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R)
已知函数f(x)=1/2x^2+alnx(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间
已知函数f(x)=1/2x^2+alnx,当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求实数a的取值.
已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a>0,试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1