作业帮求几道初2的四边形数学竞赛题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 09:02:58
求几道初2的四边形数学竞赛题
不用一次写8道的- -会一道是一道嘛..
不用一次写8道的- -会一道是一道嘛..
a.顺次连接各种四边形的中点,会得到什么图形?
1任意四边形 平行四边形
证明：平行四边形 ABCD中,EFGH分别为AB BC CD DA 中点 联结EFGH,在三角形ABC中,EF是AC边的中位线,EF平行AB且等于1/2 AB,同理,GH平行AB且等于1/2 AB,所以EF平行GH且等于GH,EFGH为平行四边形
2平行四边形 类似1中证明,还是平行四边形
3矩形 菱形
类似1中证明,而且矩形中对角线AB=CD,所以FG等于1/2 CD等于1/2 AB等于EF,EFGH为邻边相等的平行四边形,也就是菱形
4菱形 矩形
类似1中证明,而且菱形中对角线AB垂直CD,所以FG平行CD垂直AB垂直EF,EFGH为邻边相互垂直的平行四边形,也就是矩形
5正方形 正方形
类似3、4中证明,正方形既是菱形又是矩形,EFGH为邻边相等且相互垂直的平行四边形,也就是正方形
6普通梯形和直角梯形 平行四边形
类似1中证
7等腰梯形 菱形
类似3中证明,等腰梯形中对角线AB=CD,可得结论.
其实连完以后是什么形状,是由对角线之间的关系决定的.对角线相等是菱形,对角线垂直是矩形
b.四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的联线,将四边形分成四个三角形,其中相对的两对三角形的面积之积有什么关系?你能探索出结论吗?
(1)为了更直观地发现问题,我们不妨先在特殊的四边形---平行四边形中,研究这个问题:
已知在平行四边形ABCD中,O是对角线BD上的任意一点.
求证:S三角形OBC*三角形OAD=S三角形OAB=S三角形OCD.
(2)在三角形中,你能否归纳出类似的结论,若能,用文字叙述你的结论,并写出已知,求证和证明过程,若不能说明理由.(把四边形的一条对角线改为三角形一个角与对边的连线,其它的不变).
1.不用平行四边形,就在任意四边形ABCD里做,
O是BD上的任意一点,设A、C到BD的距离分别为a、b
S(OBC)*S(OAD)=(BO*b/2)(DO*a/2)
S(OAB)*S(OCD)=(BO*a/2)(DO*b/2)
就有S(OBC)*S(OAD)=S(OAB)*S(OCD)
2.D为AC上任意一点,O是BD上的任意一点,设A、C到BD的距离分别为a、b,（证明方法同上）
S(OBC)*S(OAD)=(BO*b/2)(DO*a/2)
S(OAB)*S(OCD)=(BO*a/2)(DO*b/2)
就有S(OBC)*S(OAD)=S(OAB)*S(OCD)
平行四边形的内角的平分线若能围成四边形,则此四边形为矩形,且此矩形的对角线的长为平行四边形两邻边之差,为什么?
c.求证：对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
反证法:
若四边形是平行四边形,则对角线互相平分.
而巳知对角线不互相平分,∴四边形不是平行四边形
d.已知：直角三角形ABC,角C=90度,D是AB的中点,BE平行CD,CE平行AB,若角A=30度,AB=6CM,那四边形DCEB的周长是?
BC=?CM
四边形DCEB的面积是?
因为直角三角形ABC,角C=90度 角A=30度 那么角B=60度 三角形边的关系为1：2：根号3
又因为D为AB中点,所以AD=BD=BC=3cm
所以易得角BCD=60度
由于BE平行CD,所以角EBC=角BCD=60度
同理可得角ECB=角CBD=60度 则三角形BEC为等边三角形
所以四边形DCEB为菱形
那么就很容易得到DCEB周长为12,BC=3,DCEB面积为4.5倍根号3
因为平行四边形同旁内角互补,所以同旁内角的角平分线相交成一直角,又因为对顶角相等,所以相交成的四边形的一角为90度,同理可证剩余三个角为直角.所以就是矩形了
e.小丽剪了两个面积相等的平行四边形,其中一个平行四边形的底是24.5厘米,另一个平行四边形的底是31.5厘米,高是多少?
先求24.5与31.5的一个公倍数,是771.75.
平行四边形的公式是：底×高=平行四边形的面积.
底是短的平行四边形高：771.75÷24.5=31.5（厘米）
底是长的平行四边形高：771.75÷31.5=24.5（厘米）
f.一个平行四边形,底是12分米,两条高分别是6,9,哪位高人指点周长?
有两种情况：
（1）当6分米是12分米的高时,S平行四边形=6*12=72(分米)
另一边=72/9=8（分米） C平行四边形=2（8+12)=40(分米)
（2）当9分米是12分米的高时,S平行四边形=9*12=108(分米)
另一边=108/6=18（分米） C平行四边形=2（18+12)=60(分米)
平行四边形周长为40或60分米
g.四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形,AF和DE相交成直角,AG=3cm,DG=4cm,平行四边形ABED的面积是36平方厘米,则四边形ABCD的周长为（ ）．大家帮我看下,这个问题为什么等于46?
勾股定理AD=5
AGD相似于FGE相似于FAB
AGD边AD的高为12/5,ADBE边BE高为36/5,所以AF＝3AG,BF=3AD＝15,所以EF=10,AB=3GD=12,DC=3AG=9,BC=15+5=20
5+12+19+20=46
h.a^2+b^2+c^2+d^2=2ac+2bd
a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd=0
(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bd+d^2)=0
(a-c)^2+(b-d)^2=0
得a-c=0 b-d=0
a=c b=d
平行四边形
1任意四边形 平行四边形
证明：平行四边形 ABCD中,EFGH分别为AB BC CD DA 中点 联结EFGH,在三角形ABC中,EF是AC边的中位线,EF平行AB且等于1/2 AB,同理,GH平行AB且等于1/2 AB,所以EF平行GH且等于GH,EFGH为平行四边形
2平行四边形 类似1中证明,还是平行四边形
3矩形 菱形
类似1中证明,而且矩形中对角线AB=CD,所以FG等于1/2 CD等于1/2 AB等于EF,EFGH为邻边相等的平行四边形,也就是菱形
4菱形 矩形
类似1中证明,而且菱形中对角线AB垂直CD,所以FG平行CD垂直AB垂直EF,EFGH为邻边相互垂直的平行四边形,也就是矩形
5正方形 正方形
类似3、4中证明,正方形既是菱形又是矩形,EFGH为邻边相等且相互垂直的平行四边形,也就是正方形
6普通梯形和直角梯形 平行四边形
类似1中证
7等腰梯形 菱形
类似3中证明,等腰梯形中对角线AB=CD,可得结论.
其实连完以后是什么形状,是由对角线之间的关系决定的.对角线相等是菱形,对角线垂直是矩形
b.四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的联线,将四边形分成四个三角形,其中相对的两对三角形的面积之积有什么关系?你能探索出结论吗?
(1)为了更直观地发现问题,我们不妨先在特殊的四边形---平行四边形中,研究这个问题:
已知在平行四边形ABCD中,O是对角线BD上的任意一点.
求证:S三角形OBC*三角形OAD=S三角形OAB=S三角形OCD.
(2)在三角形中,你能否归纳出类似的结论,若能,用文字叙述你的结论,并写出已知,求证和证明过程,若不能说明理由.(把四边形的一条对角线改为三角形一个角与对边的连线,其它的不变).
1.不用平行四边形,就在任意四边形ABCD里做,
O是BD上的任意一点,设A、C到BD的距离分别为a、b
S(OBC)*S(OAD)=(BO*b/2)(DO*a/2)
S(OAB)*S(OCD)=(BO*a/2)(DO*b/2)
就有S(OBC)*S(OAD)=S(OAB)*S(OCD)
2.D为AC上任意一点,O是BD上的任意一点,设A、C到BD的距离分别为a、b,（证明方法同上）
S(OBC)*S(OAD)=(BO*b/2)(DO*a/2)
S(OAB)*S(OCD)=(BO*a/2)(DO*b/2)
就有S(OBC)*S(OAD)=S(OAB)*S(OCD)
平行四边形的内角的平分线若能围成四边形,则此四边形为矩形,且此矩形的对角线的长为平行四边形两邻边之差,为什么?
c.求证：对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
反证法:
若四边形是平行四边形,则对角线互相平分.
而巳知对角线不互相平分,∴四边形不是平行四边形
d.已知：直角三角形ABC,角C=90度,D是AB的中点,BE平行CD,CE平行AB,若角A=30度,AB=6CM,那四边形DCEB的周长是?
BC=?CM
四边形DCEB的面积是?
因为直角三角形ABC,角C=90度 角A=30度 那么角B=60度 三角形边的关系为1：2：根号3
又因为D为AB中点,所以AD=BD=BC=3cm
所以易得角BCD=60度
由于BE平行CD,所以角EBC=角BCD=60度
同理可得角ECB=角CBD=60度 则三角形BEC为等边三角形
所以四边形DCEB为菱形
那么就很容易得到DCEB周长为12,BC=3,DCEB面积为4.5倍根号3
因为平行四边形同旁内角互补,所以同旁内角的角平分线相交成一直角,又因为对顶角相等,所以相交成的四边形的一角为90度,同理可证剩余三个角为直角.所以就是矩形了
e.小丽剪了两个面积相等的平行四边形,其中一个平行四边形的底是24.5厘米,另一个平行四边形的底是31.5厘米,高是多少?
先求24.5与31.5的一个公倍数,是771.75.
平行四边形的公式是：底×高=平行四边形的面积.
底是短的平行四边形高：771.75÷24.5=31.5（厘米）
底是长的平行四边形高：771.75÷31.5=24.5（厘米）
f.一个平行四边形,底是12分米,两条高分别是6,9,哪位高人指点周长?
有两种情况：
（1）当6分米是12分米的高时,S平行四边形=6*12=72(分米)
另一边=72/9=8（分米） C平行四边形=2（8+12)=40(分米)
（2）当9分米是12分米的高时,S平行四边形=9*12=108(分米)
另一边=108/6=18（分米） C平行四边形=2（18+12)=60(分米)
平行四边形周长为40或60分米
g.四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形,AF和DE相交成直角,AG=3cm,DG=4cm,平行四边形ABED的面积是36平方厘米,则四边形ABCD的周长为（ ）．大家帮我看下,这个问题为什么等于46?
勾股定理AD=5
AGD相似于FGE相似于FAB
AGD边AD的高为12/5,ADBE边BE高为36/5,所以AF＝3AG,BF=3AD＝15,所以EF=10,AB=3GD=12,DC=3AG=9,BC=15+5=20
5+12+19+20=46
h.a^2+b^2+c^2+d^2=2ac+2bd
a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd=0
(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bd+d^2)=0
(a-c)^2+(b-d)^2=0
得a-c=0 b-d=0
a=c b=d
平行四边形