已知三棱锥P-ABC中,O为正三角形ABC的中心,且PA=PB=PC；PO=h,点D是PC中点,PO与BD所成角的余弦值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 11:33:37

已知三棱锥P-ABC中,O为正三角形ABC的中心,且PA=PB=PC；PO=h,点D是PC中点,PO与BD所成角的余弦值为
根号2/3.1、求证：PO⊥平面ABC；
2、求三棱锥的体积.

证明：（1）取AB中点F,BC中点K
连接OF,OK
正三角形ABC,O为中心
则OF⊥AB,PA=PB,有PF⊥AB
所以AB⊥平面POF
AB⊥PO
同理BC⊥PO
所以PO⊥平面ABC
（2）过点D作DG⊥CF,可以知道DG⊥平面ABC
角BDG即PO和BD所成的角
O为三角形ABC中心
OF=1/3CF
D为PC中点,那么G为OC中点
有OF=OG=CG=1/3CF
设三角形ABC边长为a
DG=1/2PO=1/2h
DB=DG/cos∠BDG=3√2/4h
在直角三角形BDG中,勾股定理求得
BG²=BD²-DG²=7h²/8
BF=1/2a,FG=√3/3a,这里CF=√3/2a
勾股定理求出FG²+BF²=BG²
a²=3/2h²
S三角形ABC=√3/4a²=3√3/8h²
V=1/3SH=1/3×3√3/8h²×h=√3/8h³
参考

已知正三棱锥P-ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为23，则正三棱锥P-ABC的体积为（如题：已知正三棱锥P-ABC的高PO为h,点D为侧棱PC的中点,PO与BD所成角的余弦值为在正三棱柱P-ABC中,已知底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,则PB与平面BDC所成角的正弦值为三棱锥p-ABC中,pA=pB=pC.若pA垂直pB,pA垂直pC,pB垂直pC,求pA与平面ABC所成角的余弦值. P是Rt△ABC所在平面外的一点,O是斜边AC的中点,且PA=PB=PC,求证：PO⊥平面ABC 已知p是直角三角形ABC所在平面外的一点,O是斜边AB的中点,并且PA=PB=PC,求证:PO垂直平面ABC 已知Rt三角形ABC中,角C=90度 P在平面ABC外且PA=PB=PC 证PO垂直平面ABC 于O（O是 AB中点）点P式平行四边形ABCD所在平面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC,PB=PD 求证PO垂直面ABCD O是三角形ABC的外心,P是三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC.求证PO垂直于平面ABC 在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且角BAC=90度,则PA与底面ABC所成的角如图所示,三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,若PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,求PA与平面ABC所成角的在正三角形ABC内有一动点P,已知P到三个顶点的距离分别为PA,PB,PC,且PA²=PB²+PC&