f(x)在[0,1]上有二阶导数 f(0)=f(1)=0 f"(x)的绝对值≤M

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 08:11:25

f(x)在[0,1]上有二阶导数 f(0)=f(1)=0 f"(x)的绝对值≤M
求证 f'(x)的绝对值≤0.5M

任取x,由泰勒公式：
f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/2
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2
x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2
|f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)
现考虑g(x)=((1-x)^2+x^2),g'(x)=2(x-1)+2x=4x-2 x=1/2为极值点
比较g(0)=1,g(1)=1,g(1/2)=1/2知：g(x)《1
所以：|f'(x)|=《0.5M

f(x)在[0,1]上有二阶导数 f(0)=f(1)=0 f"(x)的绝对值≤M 设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数,且｜f'(x)｜≤M,f(0)=f(1)=0,证明：设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)| 设f(x)在R上满足f(x)的导数=2f(x),且f(0)=1,求函数f(x) 设函数f(X)定义在（0,+∞）上,f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) . f(x)在x=a处有二阶导数,求证x趋于0时lim(((f(a+x)-f(a)/x}-f‘(a))/x=1/2f''(a 设函数f（x）在〔1,2〕上有二阶导数,且f(1)＝f（2）=0,又F(x)=(x-1)^2f(x),那么F(x)的二阶函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上设函数在[0,1]上有二阶导数,且|f''(x)|≤M,又f(x)在[0,1]内取得最大值,证明:|f(0)|+|f(1 设函数在[0,1]上有二阶导数,且|f''(x)|≤M,又f(x)在(0,1)内取得最大值,证明:|f'(0)|+|f' 已知F(x)=x平方+2x乘以f(1)的导数,求f(0)的导数若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数,且f(1)=0,设F(x)=x^2f(x),证明：在(0,1