设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 04:51:43

设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式.
不好意思，我想具体了解一下为什么(f(x)+f(-x))是偶函数，另一个（f(x)-f（-x))是奇函数，

首先给出偶函数和奇函数的定义：
1.函数M(x)的定义域为D1,对任意的x属于D1,都有M(-x)=M(x),则称M(x)是偶函数；
2.函数N(x)的定义域为D2,对任意的x属于D2,都有N(-x)=-N(x),则称N(x)是偶函数.
下面回答上述问题：
f(x)=[f(x)+ f(-x)]/2+ [f(x)- f(-x)]/2
令
g(x)=[f(x)+ f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
于是,g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2 = g(x)
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2 = -[f(x)-f(-x)]/2 = -h(x)
由奇函数和偶函数的定义可知,g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.
原命题得证!

设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式. .貌似很简单= 1.证明定义在对称区间(-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.2.证明设f(x) 证明定义在对称区间（-l,l）内的任何函数f(x)必定可表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)和的形式,且这种表示是唯一的请证明：定义在对称区间（-a,a）(a>0)内的任意函数f(x) ,都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明定义在闭区间[-a,a]上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和函数证明,求问设f(x)在[-a,a]上有定义,证明：f(x)等于一个奇函数与一个偶函数的和大一微积分证明题证明：定义在对称区间（+a,-a）内的任何函数f（x）可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式. f(x)为定义在(-a,a)的函数.证明:f(x)一定可表示为一个奇函数和一个偶函数之和. 设f（x）在[-a,a](a>0)上定义,证明：f（x）等于一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：定义于对称区间（-a,a）内的任意函数f(x)可以表示成一个偶函数与奇函数之和设函数f(x)的定义域为（-a,a）(a大于0),证明：f(x)必可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. 设f（x）为R上有定义的一个函数,证明f（x）可以用一个奇函数和一个偶函数的和来表示,