已知三角形ABC中,O、I为其外心和内心,角C=30度,D、E分别为AC和BC上两点,且AD=AB=BE,求证：OI=D

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 16:21:40

已知三角形ABC中,O、I为其外心和内心,角C=30度,D、E分别为AC和BC上两点,且AD=AB=BE,求证：OI=DE,且OI垂直于DE.
不要使用余弦定理,还没学,

证明：
辅助线如图所示：
∵O为外心
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△AOB为等边三角形
∵I为内心
∴∠IAB=∠IAE
又∵AB=AE
利用SAS可知：△IAB≌△IAE
同理可证：△IAB≌△IDB
∴∠EIA=∠DIB=∠AIB
=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/2
=180°-(180°-30°)/2=105°
∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°
∠EFD
=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)
=(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2
=60°+∠BAO/2=60°+30°
=90°
∴EO⊥DI
同理可知：DO⊥EI
∴O为△EID的垂心
∴IO⊥ED
∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°
∴∠OID=∠DEO
又∵∠EID=45°
∴△EFI为等腰直角三角形
∴EF=IF
根据ASA知：△OIF≌△DEF
∴OI=ED
综上所述：OI⊥ED且OI=ED
证毕!

已知三角形ABC中,O、I为其外心和内心,角C=30度,D、E分别为AC和BC上两点,且AD=AB=BE,求证：OI=D 数学几何,高手进!在三角行ABC中,角C=30度,O为外心,I为内心,边AC上的点D与边BC上的点E,使AD=BE=AB 已知△ABC中,O为外心,I为内心,且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．已知，在△ABC中，AB=AC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD=AE，BE和CD相交于点O．求证：点O在线段BC的已知平面上三角形ABC为等边三角形且每边边长为a,在AB和BC上分别取D,E两点使得AD=BE=a/3，连接A,E两点以已知：在三角形ABC中,角A等于90度,AB=AC,D为bc的中点.E.F分别为AB,AC上的点,且BE=AF,求证三角已知Rt三角形ABC中,角c=90度,点o在AB上,以o为圆心OA为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且bc平方在三角形abc中,d为ac上一点,e为cb延长线上一点,且be=ad,ed和ab交于f,求证： ef:fd=ac:bc 如图,在RT三角形ABC中,角C=90,点D为AB中点,E,F分别为边BC和边AC上两点,且角EDF=90 已知在三角形ABC中,D和E分别为AB和AC上的点,且DE//BC,BE与CD交于点O,AO的延长线与BC交与点M,求证如图在圆O中,D E分别为半径OA OB上的点且AD=BE 点C为弧AB上一点,且CD=CE.求证弧AC=弧BC. 已知,在三角形ABC中,D、E、F分别在BC、AB、AC上BE=CF,三角形DEB与三角形DFC的面积相等,求证：AD平