已知函数f(x)=lne^x 是实数集R上的奇函数,函数g(x)=kf(x)+sinx是区间｛-1,1｝上的减函数,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 14:05:42

已知函数f(x)=lne^x 是实数集R上的奇函数,函数g(x)=kf(x)+sinx是区间｛-1,1｝上的减函数,
讨论关于x的方程lnx=f(x）(x^2-2ex+m)的根的个数

因为函数f(x)=x；故方程转化为 (lnx)/x=x^2-2ex+m,令F（x）=(lnx)/x（x＞0）,G（x）=x^2-2ex+m,∵F'（x）= (1-lnx)/x^2,令F'（x）=0,即 (1-lnx)/x^2=0,得x=e
当x∈（0,e）时,F'（x）＞0,∴F（x）在（0,e）上为增函数；
当x∈（e,+∞）时,F'（x）＜0,F（x）在（e,+∞）上为减函数；
当x=e时,F（x）max=F（e）= 1/e
而G（x）=(x-e)^2+m-e^2 （x＞0）
∴G（x）在（0,e）上为减函数,在（e,+∞）上为增函数；
当x=e时,G（x）min=m-e^2
∴当m-e^2＞1/e,即m＞e^2+1/e 时,方程无解；
当m-e^2=1/e,即m= e^2+1/e 时,方程有一个根；
当m-e^2＜1/e,即m＜e^2+1/e时,方程有两个根;
再问：请问：为什么当x=e时，G（x）min=m-e^2？不应该是最大值吗？而且我不大明白为什么两个相等的式子要通过最值比较进行判定根的数目！还希望您能帮我解答一下！谢谢！
再答： G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数,所以x=e是极小值点。通过最值判定根的个数是采用数形结合法，这时候不是等式关系，而是看做函数关系。对于判定根的个数问题最常用的方法就是数形结合法，尤其是针对超越函数判定根的个数问题。