已知函数f（x）=lnx+ax=1，a∈R

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 07:18:00

已知函数f（x）=lnx+ax=1，a∈R
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=
1
x+a，…3分
∴f′（1）=a+1，切点是（1，a+1），…5分
所以切线方程为y-（a+1）=（a+1）（x-1），即y=（a+1）x．…6分
（Ⅱ）解法一：∵x＞0，f′（x）=
1+ax
x，
①当a≥0 时x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x），单调递增，
显然当x＞1 时，f（x）＞0，f（x）≤0不恒成立．…8分
②当a＜0 时，x∈（0，-
1
a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（-
1
a，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，…10分
∴f（x）_max=f（x）_最大值=f（-
1
a）=ln≤0（-
1
a），∴a≤-1，
所以不等式f（x）≤0 恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]…14分
（Ⅱ）解法二：∵x＞0 所以不等式f（x）≤0 恒成立，等价于
ax≤=-lnx-1，即a≤
−lnx−1
x令h（x）=
−lnx−1
x，
则h′（x）=-
1−lnx
x2+
1
x2=
lnx
x2，当 x∈（0，1）时，
h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．…12分
∴h（x）_min=h（x）_最小值=h（1）=-1，∴a≤-1．
∴不等式f（x）≤0 恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]．…14分

已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R). 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R) 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R) 已知函数f（x）=lnx+ax=1，a∈R 已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．已知函数f（x）=ax-1+lnx（a∈R）已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f(x)=lnx-ax(a属于R) 已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R) 已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．