求助一道高数证明题,设f（x）,g（x）是定义在R上的两个非零可微函数,且满足 f（x+y

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 01:53:38

求助一道高数证明题,设f（x）,g（x）是定义在R上的两个非零可微函数,且满足 f（x+y
上面有误。
设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足
f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y），
g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），且f'（0）=0.
求证：f（x）^2+g（x）^2=1。
(即两个函数的平方和等于1)

题目不完整啊!
再问：上面有误。设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足 f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y）， g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），且f'（x）=0. 求证：f（x）^2+g（x）^2=1。 (即两个函数的平方和等于1)
再答：条件有错吧？我觉得应该是“且f'（0）=0”
再问：是f'（0）=0
再答：因为f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y）， g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），所以令x=y=0，得f（0）=f²（0）-g²（0），g（0）=2f（0）g（0）解得f（0）=0，g（0）=0或f（0）=1，g（0）。倘若f（0）=0，g（0）=0，则有g（x）=f（x）g（0）+g（x）f（0）=0，与已知矛盾。故f（0）=1，g（0）。（f（x+△x）-f（x））/△x=（f（x）f（△x）-g（x）g（△x）-f（0）f（x）+g（0）g（△x））/△x=f（x）（f（△x）-f（0））/△x-g（x）（g（△x）-g（0））/△x，所以f'（x）=lim（f（x+△x）-f（x））/△x=-g(0)g'(0)。用同样的方法，可得g'(x)=f(x)g'(0)。令F（x）=f（x）^2+g（x）^2，则F'(x）=2f（x）f'(x)+2g(x)g'(x)=0，所以F(x)恒为常数，又因为f（0）=1，g（0）=0，所以F（x）=1，即f（x）^2+g（x）^2=1

求助一道高数证明题,设f（x）,g（x）是定义在R上的两个非零可微函数,且满足 f（x+y 高数求导问题设f(x)和g(x)是在R上定义的函数,且具有如下性质：（1）f(x＋y)=f(x)g(y)+f(y)g(x 设f（x）是定义在R上的奇函数,函数y=g（x）是R上的偶函数,且f（x）+g（x）=x²+3x+1,求f（x 定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间（0,正无穷）上递增函数 1.若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数,且满足f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）,f（-2)=f(1 设f （x ）定义在R上的函数,且对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,f(x)＞1证明：设f（x）是定义在R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求设f(x)是定义在R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求已知f(x)是定义在R上的恒不为0的函数,且对任意实数x,y都满足f(x)*f(y)=f(x+y)（1）求f(0)并证明设函数f(x)是定义在R﹢上的减函数,并满足f(xy）=f(x)+f(y),f(1/3)=1. 设定义在R上的函数f（x）,对任意x,y∈R,有f（x+y）=f（x)*f（y）,且当x>0时,恒有f（x）>1.证明：设函数f（x）是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R.