若A,B,C,D均为n阶实对称阵,且A与B合同,C与D合同,问结论A C与B D合同是否成立?若成立,给出证明,不成立给

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 00:58:53

若A,B,C,D均为n阶实对称阵,且A与B合同,C与D合同,问结论A C与B D合同是否成立?若成立,给出证明,不成立给出反例

不一定,不妨假设A和C都是正定的实对称矩阵,则A和C都合同与单位矩阵E,令B=D=E,这样的A,B,C,D是满足条件的,现在的问题是AC是否合同于BD=E,也就是AC是否也是正定矩阵,这是不一定的,因为(AC)'=C'A'=CA,而CA不一定等于AC,从而AC不一定对称,而正定矩阵首先是对称的,因此AC不一定正定.从上面的分析还可以看出,如果A,C可交换,即AC=CA,那么AC就合同于BD了,因此举反例时,只要举出不可交换的两个正定矩阵A.C,以及B=D=E即可.
再问：能帮忙出反例么？
再答：上面已经给出举反例的思路了，再举出一个反例就很容易了吧。

A=1 1 C=2 1 B=D=E
1 2 1 1
可以看出A和C都是正定的，因此A合同于B，C合同于D，
而AC=3 2
4 3
AC不是对称矩阵，自然不是正定的，因此不会合同于BD=E。
再问：不好意思，上边题目有点问题，原题是若A,B,C,D均为n阶实对称阵,且A与B合同,C与D合同,问结论A 加C与B 加D合同是否成立？若成立，给出证明，不成立给出反例
请大神赐教

若A,B,C,D均为n阶实对称阵,且A与B合同,C与D合同,问结论A C与B D合同是否成立?若成立,给出证明,不成立给设A,B,C,D都是n阶对称矩阵.若A与B合同,C与D合同,问A+C与B+D是否合同矩阵的关系?A 合同且相似 B相似不合同 C合同不相似 D不合同不相似 (A-B)×C=(A×C)-(B×C)是否对任意集合A,B,C,D均成立? 验证:a/b±a=c/d±c是否成立? 已知线段a,b,c,d成比例,那么a+b/a-b=c+d/c-d成立吗? 已知a:b=c:d,判断比例式(a+b):(a-c）=（c+d):(c-d)是否成立,并说明理由一个矩阵问题；对称矩阵A,B,存在矩阵C,D,使A=C^tBC,B=D^tAD(C^t,D^t表示转置）,求证合同于B 线性代数A、B均为n阶实对称矩阵.证明：A与B合同的充分必要条件是二次型f=（X的转置）×A×X与二次型g=（Y 的转置同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立是A、a∥d B、b⊥d C、a⊥d D、b∥c 设a>b>c>d,不等式1/a-b+1/b-c+1/c-d>=x/a-d恒成立,则x 得最大值为? 证明：若矩阵A与B合同,则R(a)=R(B)