已知向量OA(a1,b1),OB(a2,b2),设以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为S,求证S=|a1b2-a2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 12:17:21

已知向量OA(a1,b1),OB(a2,b2),设以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为S,求证S=|a1b2-a2b1|
最好再来点文字说明反正越详细越好

设OA OB夹角为θ
OA•OB = |OA|*|OB|*cosθ=a1a2+b1b2
S²= (|OA||OB|sinθ)²
=|OA|²|OB|²(1-cos²θ)
=|OA|²|OB|²-|OA|²|OB|²cos²θ
=(a1²+b1²)(a2²+b2²)-(a1a2+b1b2)²
=(a1b2-a2b1)²
所以S=|a1b2-a2b1|
再问：还有别的解法吗
再答：解析几何的方法也行比如设O(0,0) A(a1,b1) B(a2,b2) 平行四边形面积就是三角形面积的2倍在用到直线的距离算O到AB的距离d AB的长度是知道的求三角形面积就行了，不过这个好像更繁一点其他的方法我还真想不到。。
再问：你是怎么想到的呀，最后一步计算那么繁杂
再答：这个是个证明题，结论肯定成立的，所以一步一步向下面化简咯。知道面积是absinθ 然后想法子把θ去掉，这是死方法，要是有更好的方法我也想知道。。哈哈我又想到了一个方法构造一个新向量OC=(b2,-a2) 这里OC和OB向量垂直的，并且他们的模相等即|OC|=|OB| OA OB夹角为θ 于是OC向量和OA向量的夹角就是π/2-θ 或者π/2+θ 那么OC•OA=|OC||OA|cos(π/2-θ)=|OA||OB|sinθ或者是-|OA||OB|sinθ |OC•OA|=|OA||OB|sinθ 这就是面积所以S=|OC•OA|=|a1b2-a2b1| 这个方法简便，对照图形的话好理解吧

已知向量OA(a1,b1),OB(a2,b2),设以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为S,求证S=|a1b2-a2 已知在三角形ABC中,若向量CA=(a1,a2),向量CB=(b1,b2),证三角形的面积=(1/2)|a1b2-a2b 设M是平行四边形边ABCD的中心,O为任意一点,则向量OA+向量OB+向量OC+向量OD= 设O为坐标原点,向量OA=(-4,-3）,OB=(12,-5),op=&OA+OB,向量OA.OP的夹角与OP.OB夹角已知点O为△ABC内一点,满足2OA向量+3OB向量+5OC向量=0向量,记△ABC的面积为S,△BOC的面积为S1,且已知O为ΔABC的重心,证明向量OA+向量OB+向量OC=0 如图所示,设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA,OB分别交于P,Q,已知向量OP=x向量OA,向量OQ＝y向量OB, 在平行四边形ABCD中,O为平面上的任一点,设向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,向量OD=d 已知三角形ABO的面积是s,且向量OA.OB=2若1小于s小于根号3,求向量OA与AB的夹角已知点O为三角形ABC的重心,且OA=2,则向量OA*(向量OB+向量OC)= .△ 的外接圆的圆心为 ,半径为1 ,若向量OA+向量OB+向量OC,且/向量OA/=/向量OB/ 求向量CA+向量C 已知向量|OA|=2,向量|OB|=1,向量|OC|=4,向量OA与向量OB的夹角为120°,向量OA与向量OC的夹角为