证明：若{Un}满足Lim(n→∞)nUn=1,则∞∑(n=1) (-1)^n(Un+Un+1)收敛

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 01:09:19

其实只需试着写两项就能发现关键了.
那个级数写出来是-(U[1]+U[2])+(U[2]+U[3])-(U[3]+U[4])+...
除了U[1]以外的项都两两消掉了.
形式化的写出来是这样.
考虑级数∑{1 ≤ k} (-1)^k·(U[k]+U[k+1])的部分和:
∑{1 ≤ k ≤ n} (-1)^k·(U[k]+U[k+1])
= ∑{1 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k]+∑{1 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k+1]
= -U[1]+∑{2 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k]+(-1)^n·U[n+1]+∑{1 ≤ k ≤ n-1} (-1)^k·U[k+1]
= -U[1]+(-1)^n·U[n+1]+∑{2 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k]+∑{2 ≤ k ≤ n} (-1)^(k-1)·U[k]
= -U[1]+(-1)^n·U[n+1]+∑{2 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k]-∑{2 ≤ k ≤ n} (-1)^k·U[k]
= -U[1]+(-1)^n·U[n+1].
由条件lim{n → ∞} n·U[n] = 1,有lim{n → ∞} U[n] = 0.
于是n → ∞时∑{1 ≤ k ≤ n} (-1)^k·(U[k]+U[k+1]) = -U[1]+(-1)^n·U[n+1]收敛到-U[1].
即级数∑{1 ≤ k} (-1)^k·(U[k]+U[k+1])收敛.

证明：若{Un}满足Lim(n→∞)nUn=1,则∞∑(n=1) (-1)^n(Un+Un+1)收敛若∑(n=1) ∞ Un 收敛,求lim┬(n→∞) Un 设Un>=0,且{NUn}有界,证明：级数∑Un^2收敛（n从1到无穷）级数收敛设级数∑Un（n=1,2,…,∞)收敛,证明∑（-1)^n*Un/n不一定收敛,(-1)^n指-1的n次方. 若lim(n→∞)(Un+1 / Un)=1,级数∑（n=1→∞）Un敛散性如何? 设数列{Un}收敛于a,则级数（Un-U（n-1））=?）设数列{un}收敛于a,则级数(un-u(n-1))=?) 证明若级数∑un满足(1)limun=0,(2)∑(u2n-1+u2n)收敛,则∑un收敛设级数∑(n=1)Un收敛,且∑Un=u,则级数∑(Un+U(n+1))=? 如果数项级数∑(n=1,∞)un收敛,则级数∑(n=1,∞) un+10的敛散性是希望有数学高手帮我解一道高数题：若∑(Un-1)收敛,问lim Un=?（n趋向于无穷大）, lim(n→∞)Un*n=0,则级数∑Un收敛.这句话正确吗?答案说是错的能来个反例吗?