已知a为实数,讨论方程sinx+根号3cosx=a在区间（0,π）内实数解的个数,若方程有两个不同解,求出这两个解的和

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 08:40:41

sinx+√3cosx=2 (1/2 sinx+√3/2 cosx)=2 (sinx cosπ/3+cosx sinπ/3)=2 sin(x+π/3) ,
而且已知sinx+√3cosx=a,所以sin(x+π/3)=a/2.
x的取值区间（0,π）,得x+π/3取值区间（π/3,4π/3）,
当x的取值区间为（0,π/6)时,x+π/3在（π/3,π/2]区间,sin(x+π/3)单调递增,范围为（√3/2,1)；
当x=π/6时,x+π/3=π/2,sin(x+π/3)=1；
当x的取值区间为（π/6,π/3）时,x+π/3在（π/2,2π/3]区间,sin(x+π/3)单调递减,范围为（√3/2,1)；
当x的取值区间为（π/3,π）时,x+π/3在（2π/3,4π/3)区间,sin(x+π/3)单调递减,范围为（-√3/2,√3/2).
因此,
当sin(x+π/3)取值范围为（√3/2,1),方程有两个解,此时a的范围为（√3,2).若两个解为x1、x2,则sin(x1+π/3)=sin(x2+π/3),且x1+π/3=π-(x2+π/3),所以x1+x2=π/3.
当sin(x+π/3)等于1或者取值范围为（-√3/2,√3/2),方程有一个解,此时a的范围为（-√3,√3)并且包括2.