设A为m×n实矩阵,证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 14:22:38
设A为m×n实矩阵,证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
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证明:
显然有:Ax=0的解必然也是A'Ax=0的解.
下面证:若A'Ax=0,那么Ax=0
x是n维列向量,A'Ax是n维列向量且A'Ax=0,x'是n维行向量.
方程A'Ax=0两边左乘x'得:
x'A'Ax=0
即:(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=0……①
Ax是m维列向量,设为[a1,a2...am]'
那么①式等价于:
[a1,a2...am][a1,a2...am]'=0
即:(a1)^2+(a2)^2+...+(am)^2=0
∴a1=a2=...=am=0
∴[a1,a2...am]'=Ax=0
∴A'Ax=0的解必然是Ax=0的解
即:线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
结论得证!
显然有:Ax=0的解必然也是A'Ax=0的解.
下面证:若A'Ax=0,那么Ax=0
x是n维列向量,A'Ax是n维列向量且A'Ax=0,x'是n维行向量.
方程A'Ax=0两边左乘x'得:
x'A'Ax=0
即:(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=0……①
Ax是m维列向量,设为[a1,a2...am]'
那么①式等价于:
[a1,a2...am][a1,a2...am]'=0
即:(a1)^2+(a2)^2+...+(am)^2=0
∴a1=a2=...=am=0
∴[a1,a2...am]'=Ax=0
∴A'Ax=0的解必然是Ax=0的解
即:线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
结论得证!
设A为m×n实矩阵,证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
设A为m*n实矩阵,A^TA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解.
线性代数题.设A是m*n矩阵,证明齐次线性方程组Ax=0与AtAx=0同解.
线性方程组的一道问题证明:设A为m*n矩阵,AT是A的转置矩阵,则n元齐次线性方程组AX=O与ATAX=O同解
您好 设A,B都是m×n矩阵,线性方程组AX=0与BX=0同解,则A与B的行向量组等价
设A为m×n矩阵,若齐次线性方程组AX=0只有零解,则对任意m维非零列向量b,非齐次线性方程组AX=b
设A是一个N*N矩阵,证明:如果A的秩等于A平方的秩,则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组A平方X=0同解.
设A为m*n矩阵,则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是()
设A为m*n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是?
设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( )
设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是m×n矩阵),ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解,证明:
设A是n阶方阵,证明齐次线性方程组AX=0与(A^T)AX=O是同解方程组.