线性方程组的一道问题证明：设A为m*n矩阵,AT是A的转置矩阵,则n元齐次线性方程组AX=O与ATAX=O同解

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 03:25:24

线性方程组的一道问题
证明：设A为m*n矩阵,AT是A的转置矩阵,则n元齐次线性方程组AX=O与ATAX=O同解

（1）如果 Aa=0 ,那么 A^TAa=A^T(Aa)=A^T*0=0 ,
这说明 AX=0 的任一解 a 都满足 A^TAX=0 ；
（2）如果 A^TAa=0 ,左乘 A 得 AA^TAa=A0=0 ,
即 (AA^T)Aa=0 ,
根据转置矩阵的性质,|AA^T|>=0 ,当且仅当 A=0 时 |AA^T|=0 ,
如果 A=0 ,则显然 A^TAX=0 的解满足 AX=0 ；
如果 A ≠ 0 ,则 AA^T 可逆,因此由 (AA^T)Aa=0 左乘 AA^T 的逆阵得 Aa=(AA^T)^(-1)0=0 ,
这说明 ATAX=0 的任一解也满足 AX=0 ,
于是它们同解 .
再问：首先，|AA^T|>=0 ，当且仅当 A=0 时 |AA^T|=0我觉得不成立啊，如果A为方阵且有一行或一列全为0，那么A并不是O矩阵，但是行列式ATA=0 另外，我的原题里是ATAX=O，请问(AA^T)Aa=0是怎么做出来的
再答：嗯确实错了。只记得 AA^T 是半正定。也许是当 |A|=0 时有 |AA^T|=0 ，二十多年早忘了。希望你自己补充吧。

线性方程组的一道问题证明：设A为m*n矩阵,AT是A的转置矩阵,则n元齐次线性方程组AX=O与ATAX=O同解线性代数题.设A是m*n矩阵,证明齐次线性方程组Ax=0与AtAx=0同解. 设A是n阶实矩阵,b是任意的n维向量,证明线性方程组ATAx=ATb有解.其中AT表示A的转置设A为m×n实矩阵,证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,x是列向量,证明：AB=O的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组AX=O的解线性代数证明题27.设A是m×n实矩阵,n＜m,且线性方程组Ax=b有惟一解.证明ATA是可逆矩阵.证明的是A的转置矩阵设A为m*n矩阵,则非其次线性方程组Ax=β有唯一解的充要条件是? 证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是设A为m*n实矩阵,A^TA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解. 设A是一个N*N矩阵,证明：如果A的秩等于A平方的秩,则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组A平方X=0同解. 您好设A,B都是m×n矩阵,线性方程组AX=0与BX=0同解,则A与B的行向量组等价设A为m*n矩阵,则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是（）