作业帮已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 04:32:43
已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立．
（1）证明：数列{an}中的任意一项都小于1；
（2）探究an与
（1）证明：数列{an}中的任意一项都小于1；
（2）探究an与
| 1 |
| n |
（1）an2≤an-an+1，得an+1≤an-an2
∵在数列{an}中an＞0，
∴an+1＞0，
∴an-an2＞0，
∴0＜an＜1
故数列{an}中的任意一项都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1＝
1
1，
那么a2≤a1−
a21＝−(a1−
1
2)2+
1
4≤
1
4＜
1
2，
由此猜想：an＜
1
n（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即ak＜
1
k≤
1
2，
那么ak+1≤ak−
a2k＝−(ak−
1
2)2+
1
4＜−(
1
k−
1
2)2+
1
4＝
1
k−
1
k2＝
k−1
k2＜
k−1
k2−1＝
1
k+1，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜
1
n．
∵在数列{an}中an＞0，
∴an+1＞0，
∴an-an2＞0，
∴0＜an＜1
故数列{an}中的任意一项都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1＝
1
1，
那么a2≤a1−
a21＝−(a1−
1
2)2+
1
4≤
1
4＜
1
2，
由此猜想：an＜
1
n（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即ak＜
1
k≤
1
2，
那么ak+1≤ak−
a2k＝−(ak−
1
2)2+
1
4＜−(
1
k−
1
2)2+
1
4＝
1
k−
1
k2＝
k−1
k2＜
k−1
k2−1＝
1
k+1，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜
1
n．
已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立．
已知在正项数列｛An｝中,对于一切n∈N*均有An²≦An-A(n+1成立) ①证明:数列
已知数列An 的通项公式是 an=n2+kn+2,对于n∈N*都有an+1>an成立,则实数k的取值范
若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），则数列的通项an=______．
数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列．设数列{bn}的前n项
已知数列{an}中，an＞0且an2-2anSn+1=0，其中Sn为数列{an}的前n项和．
已知正实数An的前n项和为Sn,4Sn=An平方+2An-3对于一切正实数都成立,求数列An的通项公式
己知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．
已知各项均为正数的数列an中，a1=1，Sn为数列an的前n项和 若数列{an}{an2}都是等差数列，求数列{an}的
已知数列｛an｝中,a1=2,a(n+1)=an2+2an（n∈N＊）.（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列,
已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn=an2+2an-3．
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+n-4（n∈N*）．