1、求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3化成标准形.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 15:15:39
1、求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3化成标准形.
二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,5.
A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换,满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.
再问: 答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2. 有区别么
再答: 没区别 只是要注意: P的列向量与特征值1,2,5的对应 如果答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2 P应该是 (b2,b1,b3)
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,5.
A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换,满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.
再问: 答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2. 有区别么
再答: 没区别 只是要注意: P的列向量与特征值1,2,5的对应 如果答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2 P应该是 (b2,b1,b3)
1、求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3化成标准形.
1、求一个正交变换,将二次型f(x1,x2)=11x12+24x1x2+4x22化成标准形,并写出所有正交变换的矩阵
求一个正交变换把下列二次型化成标准型 f(x1,x2,x3)=2(x1)^2+3(x2)^2+3(x3)^2+4(x2)
求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型
设f(X1,X2,X3)=X1^2+X2^2+X3^3+4X1X2+4X1X3+4X2X3 求1一正交变换化f为标准形
求一个正交变换,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型.
f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3,求一正交变换x=py,将此二次型化为标准型.那是X
求一个正交变换,化下列型为 标准型:f(x1,x2,x3,X4)=2x1x2+2x1 x3-2x2x3+2x2x4+2x
f=2x12+3x22+4x1x3+3x32 化二次型为标准型感觉用正交变换做不出来,老感觉特征值是错的 用配方法可以
设二次型f=(x1,x2,x3)=2x1^2+ax3^2+2x2x3 经正交变换(x1,x2,x3)=p(y1,y2,y
关于正交变换的问题求达人给解答求正交变换将 化为标准形,写出标准形,并判断该二次型是否正定F(X1.X2.X3)=2X1
求一个正交变换x=Py,使二次型5(X1,X2,xX3)=2X1^2+3X3^2+4X2*X3化为标准型