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已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为74的直线

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 14:13:57
已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为
7
4
的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|•|PB|=|PC|2．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2+(y-2)2=
1
4
上一动点，求|MN|的取值范围．
（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为y=kx，
因为渐近线与圆（x-5）2+y2=5相切，
所以
|5k|

k2+1=
5，即k=±
1
2，
所以双曲线的渐近线方程为y=±
1
2x．（2分）
设双曲线方程为x2-4y2=m，
将y=

7
4(x+4)代入双曲线方程，整理得3x2+56x+112+4m=0．（4分）
所以xA+xB=-
56
3，xAxB=
112+4m
3．（5分）
因为|PA|•|PB|=|PC|2，点P，A，B，C共线，且点P在线段AB上，
所以（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16．
所以4（xA+xB）+xAxB+32=0．（7分）
于是4•(-
56
3)+
112+4m
3+32=0，
解得m=4． （8分）
故双曲线方程是x2-4y2=4，即
x2
4-y2=1．（9分）
（Ⅱ）设点M（x，y），则x2-4y2=4，设圆x2+(y-2)2=
1
4的圆心为D，则点D（0，2）．
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2=5y2-4y+8=5(y-
2
5)2+
36
5≥
36
5．（11分）
所以|MD|≥
6
5
5，从而|MN|=|MD|-
1
2≥
12
5-5
10．
故|MN|的取值范围是[
12
5-5
10，+∞)．（13分）
已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为74的直线 已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x^2＋y^2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为1/4的直线l, 已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,点P（-2.,0）与其渐近线的距离为√10/5,过点P作斜率为1/6的直线交双曲 问一道高中双曲线的题已知双曲线G中心在原点,它的渐近线与圆x^2+y^2-10x+20=0相切,过点（-4,0）作斜率为 题目已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切． 双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2,它的两条渐近线与以A(0,1)为园心,根号2/2为半径的圆相切,直线l过点 双曲线与圆已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x^2+y^2-10x+20=0相切.过点p（-4 求以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程 已知双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,点P（0,1)与其渐近线的距离为1/2,且点关于渐近线的对称点在双曲线c上;直线 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,渐近线的方程为y=±根号3x,过双曲线右焦点F作斜率为根号3/5 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦 已知双曲线的中心在原点,焦点在X轴上,过双曲线的右焦点且斜率为根号5/5的直线与双