已知双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,点P（0,1)与其渐近线的距离为1/2,且点关于渐近线的对称点在双曲线c上;直线

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 18:00:05

已知双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,点P（0,1)与其渐近线的距离为1/2,且点关于渐近线的对称点在双曲线c上;直线l:y=×+m交双曲线C于A,B两点;
(1)求双曲线C的方程.
(2)当向量PA乘以向量PB最小时,求直线l的方程.
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问题从第二个已知开始

答：(1)设双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0),则该双曲线的渐近线是y=bx/a和y=-bx/a.
因为点P（0,1）与渐近线y=bx/a的距离为1/2,所以可以得到b/a=√3, ①
且P点关于y=bx/a的对称点Q的坐标是（√3/2,1/2）.
把Q点的坐标代入双曲线方程x²/a²-y²/b²=1中,得到3/a²-1/b²=4, ②
把方程①②联立,解得a=√6/3,b=√2
所以,双曲线的方程为3x²-y²=2
(2)设A（y1-m,y1),B（y2-m,y2）,则向量PA=(y1-m,y1-1),向量PB=(y2-m,y2-2)
把直线l:y=×+m与双曲线方程3/a²-1/b²=4联立,得到2y²-6my+3m²-2=0, ③
并且y1,y2是方程③的两个根,所以y1+y2=3m,y1*y2=（3m²-2)/2 , ④
向量PA乘以向量PB=（y1-m）（y2-m）+（y1-1）（y2-2）=2y1*y2-(m+1)(y1+y2)+m²+1 ⑤
把④代入⑤中,得到向量PA乘以向量PB=m²-3m-1,
当m=3/2时,向量PA乘以向量PB的值最小,所以直线l的方程是y=x+3/2.

已知双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,点P（0,1)与其渐近线的距离为1/2,且点关于渐近线的对称点在双曲线c上;直线已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,点P（-2.,0）与其渐近线的距离为√10/5,过点P作斜率为1/6的直线交双曲椭圆与双曲线检测已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A（0,根2）为圆心,1为半径的圆相已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且两条渐近线与以点A（0,√2）为圆心,1为半径的圆相切,又已知C 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在X轴上离心率e=根号2,焦点到渐近线的距离为1 已知双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程是3x+2y=1左焦点的坐标为（-根号13,0）,A ,B为双曲线上的动点,满足已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A 双曲线的焦点在X轴上,中心在原点,一条渐近线为y=根号2x,点P(1,-2)在双曲线上,则双曲线标准方程为已知双曲线的中心在原点　焦点F1F2在坐标轴上一条渐近线方程为Y=X　且过点(4　-根号10)　求双曲线方程已知双曲线的中心在原点,焦点F1F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-√10)求双曲线方程已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且焦点到渐近线的距离为2,求双曲线方程