设f(x)=x2+ax是R上的偶函数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 05:04:13
设f(x)=x2+ax是R上的偶函数.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(I)对任意的x∈R,-x∈R,
∴f(-x)=(-x)2+a(-x),
即f(-x)=x2-ax,
又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
即x2-ax=x2+ax,
∴-a=a,即a=0;
( II)由(I)知f(x)=x2,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),
∵x1,x2∈(0,+∞),x1<x2
∴x2+x1>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴f(-x)=(-x)2+a(-x),
即f(-x)=x2-ax,
又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
即x2-ax=x2+ax,
∴-a=a,即a=0;
( II)由(I)知f(x)=x2,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),
∵x1,x2∈(0,+∞),x1<x2
∴x2+x1>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
设f(x)=x2+ax是R上的偶函数.
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