作业帮一道高二数学有关椭圆的题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 12:10:20
一道高二数学有关椭圆的题,
A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?
A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?
A(0,b),B(a,0)
Kab=-b/a
设与AB平行且与椭圆相切的直线方程为：y=-bx/a+p
则：
x^2/a^2+(-bx/a+p)^2/b^2=1
x^2/a^2+(-x/a+p/b)^2=1
2b^2x^2-2abpx+a^2p^2-a^2b^2=0
判别式△=4a^2b^2p^2-8b^2(a^2p^2-a^2b^2)=-4a^2b^2(p^2-2b^2)=0
p=±√2b
所以,在第一象限相切的直线方程为：y=-bx/a+√2b
与AB的距离d=|b-√2b|/√(1+b^2/a^2)=ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
△ABP的最大面积
=1/2*AB*d
=1/2*√(a^2+b^2)*ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
=ab(√2-1)/2
Kab=-b/a
设与AB平行且与椭圆相切的直线方程为：y=-bx/a+p
则：
x^2/a^2+(-bx/a+p)^2/b^2=1
x^2/a^2+(-x/a+p/b)^2=1
2b^2x^2-2abpx+a^2p^2-a^2b^2=0
判别式△=4a^2b^2p^2-8b^2(a^2p^2-a^2b^2)=-4a^2b^2(p^2-2b^2)=0
p=±√2b
所以,在第一象限相切的直线方程为：y=-bx/a+√2b
与AB的距离d=|b-√2b|/√(1+b^2/a^2)=ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
△ABP的最大面积
=1/2*AB*d
=1/2*√(a^2+b^2)*ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
=ab(√2-1)/2