作业帮证明：任意两奇数的平方差能被8整除
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 02:35:46
证明：任意两奇数的平方差能被8整除
设任何奇数为2m-1,2n-1(m,n是整数）则
(2m-1)^2-(2n-1)^2
=4m^2-4m-4n^2+4n
=4(m^2-n^2-m+n)
=4[(n+n)(m-n)-(m-n)]
=4(m-n)(m+n-1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可.
若m,n都是奇数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n都是偶数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n一奇一偶,则m+n-1是偶数,所以能被8整除
所以不管什么情况,都有4(m-n)(m+n-1)被8整除
故任意两奇数的平方差能被8整除
(2m-1)^2-(2n-1)^2
=4m^2-4m-4n^2+4n
=4(m^2-n^2-m+n)
=4[(n+n)(m-n)-(m-n)]
=4(m-n)(m+n-1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可.
若m,n都是奇数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n都是偶数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n一奇一偶,则m+n-1是偶数,所以能被8整除
所以不管什么情况,都有4(m-n)(m+n-1)被8整除
故任意两奇数的平方差能被8整除