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已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2a(n-1)+3a(n-2) {n大于或等于3},研究能否写出它的通项公

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 12:39:12
已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2a(n-1)+3a(n-2) {n大于或等于3},研究能否写出它的通项公式
这种形式的递推公式有一定的解题方法.
把原式变形为下面形式
An+xA(n-1)=(x+2)A(n-1)+3A(n-2)
x需满足条件1/x=(x+2)/3
解得x=1、x=-3分别带入上式
An+A(n-1)=3A(n-1)+3A(n-2)=3[A(n-1)+A(n-2)]
A2+A1=5+2=7
数列{A(n+1)+An}是以7为首项,3为公比的等比数列
A(n+1)+An=7×3^(n-1)
An-3A(n-1)=-A(n-1)+3A(n-2)=-[A(n-1)-A(n-2)]
A2-3A1=5-3×2=-1
数列{An-3A(n-1)}是以-1为首项,-1为公比的等比数列
A(n+1)-3An=(-1)^n
两式联立,求得
An=7/12×3^n-1/4×(-1)^n