作业帮已知函数f（x）=（a-1）x2+2lnx，g（x）=2ax，其中a＞1
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 06:46:00
已知函数f（x）=（a-1）x2+2lnx，g（x）=2ax，其中a＞1
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间．
（Ⅰ）∵函数f（x）=（a-1）x2+2lnx，
∴f′(x)＝2(a−1)x+
2
x
∴f′（1）=2a
∵f（1）=a-1
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-（a-1）=2a（x-1），即y=2ax-a-1；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），则h′(x)＝2(a−1)x+
2
x+2a=
2(x+1)[(a−1)x−1]
x（x＞0）
令h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞
1
a−1；令h′（x）＜0，可得-1＜x＜
1
a−1，
∴函数h（x）的单调增区间是（-∞，-1），（
1
a−1，+∞）；单调减区间是（-1，
1
a−1）．
∴f′(x)＝2(a−1)x+
2
x
∴f′（1）=2a
∵f（1）=a-1
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-（a-1）=2a（x-1），即y=2ax-a-1；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），则h′(x)＝2(a−1)x+
2
x+2a=
2(x+1)[(a−1)x−1]
x（x＞0）
令h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞
1
a−1；令h′（x）＜0，可得-1＜x＜
1
a−1，
∴函数h（x）的单调增区间是（-∞，-1），（
1
a−1，+∞）；单调减区间是（-1，
1
a−1）．
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