已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.（1）求证：f(x)是周期为4的函?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 00:37:44

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.（1）求证：f(x)是周期为4的函?
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.（1）求证：f(x)是周期为4的函数
（2）若f(x)=x^1/2 (0

(1) 证明：由f是定义在R上的奇函数知,f(-x)=-f(x).由f(x)的图像关于直线x=1对称,知f(1+x)=f(1-x). 则f(x+4)=f(1+(x+3))=f(1-(x+3))=f(-x-2)=f(-(x+2))=-f(x+2)=-f(1+(x+1))=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.(2)由0<x≤1时,f(x)=x^(1/2),且由f(-x)=-f(x)令x=0,得f(0)=0,所以当0≤x≤1时,f(x)=x^(1/2)也是正确的.当x∈[-5,-4]时,-(x+4)∈[0,1],所以f(x)=f(x+4)=-f(-(x+4))=-(-x-4)^(1/2).即当x∈[-5,-4]时,f(x)=-(-x-4)^(1/2).

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.（1） 求证：f(x)是周期为4的函?

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.（1）求证：f(x)是周期为4的函?