作业帮一道高二有关双曲线的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 15:34:36
一道高二有关双曲线的数学题
双曲线的中心在原点,实轴在x轴上,且与圆x^2+y^2=5交于点P（2,-1）,如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线,求双曲线的方程.
双曲线的中心在原点,实轴在x轴上,且与圆x^2+y^2=5交于点P（2,-1）,如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线,求双曲线的方程.
由题意可设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1
设圆的切线的斜率为k
则切线方程为:y+1=k(x-2) 化成标准形式:kx-y-2k-1=0
由点(0,0)到切线的距离为 √5得 :
√5=|-2k-1|/√(k^2+1) 化简得:k=2
又由于双曲线左端点与虚轴一个端点的连线平行于圆的切线
所以这两条直线的斜率都为2
则有：b/a=2 b=2a … … … … ⑴
将点P(2,-1)代入双曲线方程得
4/a^2-1/b^2=1 … … … … … …⑵
将 ⑴ 和 ⑵联立方程组解得:a^2=15/4 b^2=15
所以双曲线方程为:x^2/(15/4)-y^2/15=1
设圆的切线的斜率为k
则切线方程为:y+1=k(x-2) 化成标准形式:kx-y-2k-1=0
由点(0,0)到切线的距离为 √5得 :
√5=|-2k-1|/√(k^2+1) 化简得:k=2
又由于双曲线左端点与虚轴一个端点的连线平行于圆的切线
所以这两条直线的斜率都为2
则有：b/a=2 b=2a … … … … ⑴
将点P(2,-1)代入双曲线方程得
4/a^2-1/b^2=1 … … … … … …⑵
将 ⑴ 和 ⑵联立方程组解得:a^2=15/4 b^2=15
所以双曲线方程为:x^2/(15/4)-y^2/15=1