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已知函数f(x)=ax3+bx2-2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1,x2,则(  )

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 03:14:00
已知函数f(x)=ax3+bx2-2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1,x2,则(  )
A. 当a<0时,x1+x2<0,x1x2>0
B. 当a<0时,x1+x2>0,x1x2<0
C. 当a>0时,x1+x2<0,x1x2>0
D. 当a>0时,x1+x2>0,x1x2<0
原函数的导函数为f′(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b),
令f′(x)=0,可解得x=0,或x=−
2b
3a,
故当x=0,或x=−
2b
3a时,函数取得极值,又f(0)=-2<0,
所以要使函数f(x)=ax3+bx2-2(a≠0)有且仅有两个不同的零点,
则必有f(−
2b
3a)=a(−
2b
3a)3+b(−
2b
3a)2-2=0,解得b3=
27a2
2,且b>0,
即函数的一根为x1=−
2b
3a,
(1)如下图,若a>0,可知x1=−
2b
3a<0,且为函数的极大值点,x=x2处为函数图象与x轴的交点,
此时函数有2个零点:−
2b
3a,x2>0,显然有x1x2<0,但x1+x2的正负不确定,故可排除C,D;
(2)如图2,若a<0,必有x1=−
2b
3a>0,此时必有x1x2<0,x1=−
2b
3a的对称点为x=
2b
3a,
则f(
2b
3a)=a(
2b
3a)3+b(
2b
3a)2-2=
20b3
27a2-2=
20
27a2×
27a2
2−2=8>0,
则必有x2
2b
3a,即x2-
2b
3a>0,即x1+x2>0
故选B