证明函数f(x,y)= 在(0,0点连续)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 09:56:26
极限存在的条件是(x,y)以任何方式靠近(0,0)极限都相等所以证明极限不存在就是找两种不同的方式,使得极限不相等证明如下:取x=y,f(x,y)=x^2/2x=x/2显然极限=0/2=0又取x=-y
y=f(x)=x/(1+x^2)=1/[(1/x)+x]令u=1/x+x根据鱼钩函数性质可知u在(-1,0)和(0,1)都是减函数所以y=1/u在(-1,1)是增函数即f(x)在(-1,1)上是增函数
(1)f'(x)=-1/(x^2+x)x>0时f'(x)=-1/(x^2+x)
令X=0,所以有f(0+y)=f(0)*f(y)所以f(0)=1令x与y互为相反数,x>0,则y1,所以f(y)1,且大于f(x),f(y)x
证明f(x)在R上连续,即要证明对于任意x0,极限lim[f(x0+Δx)(Δx→0)存在且等于f(x0).因为f(x)在x=0处连续,所以limf(x)(x→0)=f(0)又因为f(x+y)=f(x
任取实数x1,x2,且x1
对任意x∈[0,+∞),△x>0,有y=f(x)=x^2y+△y=f(x+△x)=(x+△x)^2=x^2+2x△x+△x^2△y=f(x+△x)-f(x)=2x△x+△x^2=(2x+△x)△x>0
当x=0时,上式为:f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)——a当y=0时,上式为:f(x)+f(x)=2f(x)f(0)——b将a式写成关于x的函数为:f(x)+f(-x)=2f(x)f(0)——
当x趋向于0+的时候,此时取绝对值,得到y=1当x趋向0-的时候,去绝对值得到y=-1所以当x趋向0的时候,从两个方向趋向0得到的极限不一样,所以极限不存在
设在(-∞,0)上任取二数x2>x10,在该区间是增函数,f(x2)>f(x1),又是偶函数,f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),f(-x2)>f(-x1),因0>x2>x1,x2∈(
1当x=y=1时,f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0;∴当y=1/x时,有f(1)=f(x)+f(1/x)=0;∴f(1/x)=-f(x)令y=1/t,则f(xy)=f(x/t)=f(x)+
显然,f(0,0)=0.|f(x,y)-f(0,0)-0|=o(||(x,y)||),所以f在(0,0)可微,微分为0.
首先证明:对任意整数n与实数x,有f(nx)=nf(x).对n用数学归纳法.在条件中代入x=y=0可得f(0)=0,即n=0时结论成立.假设n=k时结论成立,取y=kx,由条件得:f((k+1)x)=
设y=-x,证明此函数是奇函数,又因为f(x)>f(1),又因为f(0)不等于0,所以即可证明此函数在R上是增函数了.
令x=y=0f(0)=f(0)×f(0)f(0)不等于0,f(0)=1令y=0f(0)=f(x)×f(0)f(x)=1
因为f(1*1)=f(1)+f(1)所以f(1)=0又f(y)*f(1/y)=f(y)+(f1/y)=f(1)=0所以-f(y)=f(1/y)所以f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y
∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,f(x)=f(x/y)+f(y),f(3)=1由f(x)=f(x/y)+f(y)可知,f(x)-f(y)=f(x/y),f(xy)=f(x)+f(y
设x1<x2<0f(x1)-f(x2)=(2/x1+1)-(2/x2+1)=2(x2-x1)/(x1x2)又x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0所以f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>