证明:(1)函数f(x)=x^2 1在(负无穷大,0)上是减函数

设x1x2在（0,1）上且x1

设F（x）=In（1+x）/x-2/(x+2)=【(x+2)In（1+x）-2x】/x（x+2）,设g（x）=（x+2）In（1+x）-2x,则g'(x)=In(1+x)+(x+2)/(1+x)-2=

设x1>x2>1则f(x1)-f(x2)=(x1+1)/x1-1)-(x2+1)/(x2-1)=-2(x1-x2)/(x1-1)(x2-1)

f(x)=ln(1+x)-2x/(x+2)f'(x)=1/(1+x)-2[(x+2)-x]/(x+2)^2=1/(1+x)-4/(x+2)^2=[(x+2)^2-4(1+x)]/[(1+x)(x+2)

设1=

f(x)=x²+1f(-x)=(-x)²+1=x²+1f(x)=f(-x)定义域属于R所以f(x)是偶函数

任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1-1x1）-（1-1x2）=x1−x2x1x2，因为x1＜x2＜0，所以x1-x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）-f（x2

y=f(x)=x/(1+x^2)=1/[(1/x)+x]令u=1/x+x根据鱼钩函数性质可知u在（-1,0）和（0,1）都是减函数所以y=1/u在（-1,1）是增函数即f(x)在(-1,1)上是增函数

证明：设3≤x1＜x2≤5，∵f（x1）-f（x2）=3x1+1-3x2+1=3(x2+1)−3(x1+1)(x1+1)(x2+1)=3(x2−x1)(x1+1)(x2+1)，x2-x1＞0，x1+1

当x≥1,f(x)=(x+1)lnx-x+1,f’(x)=(x+1)*1/x+lnx-1=1/x+1nx,因为x≥1,则lnx≥0,1/x>0,所以f’(x)>0,所以f(x)在[1,+oo）上递增,

证明：∵f（x）=x+1x，∴f′（x）=1-1x2=x2−1x2，又∵x∈（0，1），∵0＜x2＜1，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）=x+1x在（0，1）上为减函数．

设0

f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）,因此奇函数；f（-x）=-x|-x-1|=-x|x+1|≠-f（x）≠f（x）,因此不偶不奇.

1、f（x）=x+1/x可以转换成f(x)=1+1/x当x在（0,1）上时1/x是减函数,所以f(x)=1+1/x是减函数即证明得到.2、定义域为（0,正无穷）因为g(x)=√x在定义域范围内是增函数

题外话：当x=1时,f(x)=1/2当x=2时,f(x)=1怎么会是减函数呢?--------------------------------如果题目改成证明此函为增函数,则证明如下：证明：设X1>X

解函数f(x)=10^x+1/10^x-1=[（10^x-1）+2]/10^x-1=1+2/(10^x-1)设任意x1,x2属于(0,+∞),且x1＜x2故f（x1）-f（x2）=[1+2/(10^x

任取X1＜X2∈(-∝,-1)f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=x2-x1/x1x2∵x1＜X2∈(-∝,-1)∴x2-x1＜0,X1*X2＞0∴f(x1)-f(x2)＜

由f(a)=f(b),代入a,b得1-1/a=1-1/b或者1/a-1=1-1/b第一种情况,解得a=b,不符合题意,舍去第二种情况,解得a+b=2ab,而当a,b大于0(a,b不相等)时,a+b>2

设x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，得f（x1）-f（x2）=（x1+1x1）-（x2-1x2）=（x1-x2）+（1x1-1x2）=（x1-x2）（1-1x1x2）∵x1＞1，x2＞1∴x1x

设x1,x2属于(-无穷大,1),且x1