设A是n阶方阵秩(A)=r,方程组AX=0有非零解,则()-搜答案-智慧作业帮

A*是n阶方阵A的伴随矩阵,若R（A*）＝n,则R（A）=n因为A^(-1)=A*/|A|两边同时乘以A得E=AA*/|A|所以A可逆R（A）=n记住结论：A*是n阶方阵A的伴随矩阵,①若R（A）＝n

Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下：——————————————————————————————————————————∵R(E

因为A^2=A所以A的特征值只能是0和1由于r(A)=r所以A的特征值为1,...,1(r个),0,...,0(n-r个)--这里用到A可对角化所以2E-A的特征值为1,...,1(r个),2,...

对再答：行秩等于列秩等于矩阵的秩再答：行向量组的秩是它最大线性无关组中向量的个数

因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R（A+E-A)=R(E)=n所以

只有极大无关组(含r个向量)才能表示其余的向量任意r个列向量可能线性相关

因为r(A)+r(B)

R(A)=n简单的看,有个公式R(AB)=R(A方)=n所以R(A)=n

首先,当AB=0时r(A)+r(B)=1,故r(A*)=1.再问：若r(A*)=1，那不是r(A)

用反证法.若R(A)=N,则A可逆.A^(-1)[AB]=A^(-1)*0=0,又A^(-1)[AB]=B,因此,B=0.与B不等于0矛盾.故,R(A)

（1）A^2=A,所以A(A-E)=0所以r(A)+r(A-E)=r(A+E-A)=r(E)=n所以r(A)+r(A-E)=n再问：R(A)+R(B)>=R(A+B)这怎么得来的？再答：A的所有列向量

R(A)

选项A,B,C是瞎扯,没这结论r(A+B)≤r(A)+r(B)正确,但与已知r(A)=r(B)没关系.怪怪的

因为B≠O(矩阵),所以存在B的一列b≠0(列向量)因为AB=0,所以Ab=0即齐次线性方程组AX=0存在非零解,所以R(A)

根据等式AA*=|A|E1.当R(A)=n时,|A|≠0,|AA*|=|A|^n≠0,所以|A*|≠0,R（A*）=n2.当R(A)≠n时,|A|=0,AA*=|A|E=0,R(A)+R(A*)再问：

证:由已知,A^2=E,(A+E)(A-E)=0所以r(A+E)+r(A-E)

假设R（A）=N那么A为满秩矩阵,那么A可逆,A*A的逆矩阵*B=0,所以B=0,与条件矛盾.所以R（A）〈N

因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立

ank(B)=r说明B的列线性无关,因此对任何r维向量x,Bx=0x=0（Bx表示对B的列进行线性组合,x的分量是系数）.然后把A按列分块,那么A的每一列都是0.

(a)=r(a')=n-1矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等.