作业帮若n阶矩阵A满足A^2-A-E=0,证明A-3E可逆
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/22 22:59:27
知识点:1.AB=0,则r(A)+r(B)
设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX.而又有A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即j^2=j求得j=0j=1由A^2=A有A^2－A－
A^2=A又Ax=YxA^2x=AYx=YAx=YAx=Y^2xA(Y^2-Y)x=0故特征值是0和1这里面Y表示什么自己应该知道吧可逆：主要证明|A+E|值不为零
因为A^2=AAα=λαλ^2=λ解得λ=1或0由于r(A)=r所以n阶矩阵A与对角矩阵1..1.1...0.0.0相似,其中λ=1为r重特征值,λ=0为n-r个则2E-A的特征值为1(r重),2(n
证A可逆A²+A-3E=0A（A+E）=3EA（A+E）/3=E所以A可逆,且A的逆矩阵为（A+E）/3证A+2E可逆A²+A-3E=0（A+2E）（A-E）=E所以A+2E可逆,
移项：A^2=A+2E两边同乘以A^(-2)就得到：E=（A+2E)^A*(-2)
因为2A(A-E)=A^3所以A^3-2A^2+2A=0所以A^2(A-E)-A(A-E)+A-E=-E即(A^2-A+E)(E-A)=E所以E-A可逆,且(E-A)^-1=A^2-A+E.
因为A^2(A-2E)=3A-11E所以A^3-2A^2-3A+11E=0所以A^2(A+2E)-4A(A+2E)+5(A+2E)+E=0所以(A^2-4A+5E)(A+2E)=E所以A+2E可逆,且
A^2=A得到A(A-E)=0由r(A)+r(B)-n
设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX.而又有A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即j^2=j求得j=0j=1由A^2=A有A^2－A－
A+2A-3E=0,3A=3E,A=E.
可以改写等式得出逆矩阵.请采纳,谢谢!
对.A(A-2E）=-3E,A可逆,A^(-1)=-(A-2E)/3
因为A^2-A+E=0所以A(A-E)=-E所以A可逆,且A^-1=-(A-E)=E-A
A^2+2A+3E=0A(A+2E)=-3E(A)^-1=-(A+2E)/3运算符号不对的话,自己修正.
刚看到因为A^2-3A+2E=0所以A(A-3E)=-2E所以A-3E可逆,且(A-3E)^-1=(-1/2)A.
因为A^2-2A-3E=0所以A(A-E)-(A-E)-4E=0所以(A-E)^2=4E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=(1/4)(A-E).
首先A^2-5A+6E=E,而A^2-5A+6E可分解为(A-2E)x(A-3E),所以（A-2E）^(-1)=A-3E.
（A-2E）(A+E)=0所以r（A+E）小于等于n-r（A-2E）即r（A-2E）+r(A+E)小于等于n又因为r（A-2E）+r(A+E)大于等于r（A-2E,A+E）=r(A-2E,3E)=n所
/>n阶矩阵A满足A^2=E,===》矩阵A的零化多项式无重根,并且根只能为正负1,===》矩阵A的最小多项式无重根,并且根只能为正负1,===》矩阵A可以对角化,并且矩阵A的特征值只能为正负1,又因