矩阵A平方=A=A的共轭
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 15:39:32
设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对
因为(E+A+A^2)(E-A)=E+A+A^2-A-A^2-A^3=E所以E+A+A^2可逆,且E+A+A^2的逆为E-A
A^2+A=E所以A^2+A-2E=-E,即(A+2E)(A-E)=-E,因此-(A+2E)(A-E)=E.同理(A-E)[-(A+2E)]=E所以(A-E)可逆,逆矩阵为-(A+2E)
A^4a=A(A^3a)=A(5Aa-3A^2a)=5A^2a-3A^3a=5A^2a-3(5Aa-3A^2a)=14A^2a-15Aa(a,Aa,A^4a)=(a,Aa,A^2a)KK=10001-
移项:A^2=A+2E两边同乘以A^(-2)就得到:E=(A+2E)^A*(-2)
请看图片:
z与z的共轭复数是x^2-x+2=0或x^2-2x+1=0的两根x=1/2±(√7/2)*i或x1=x2=1a=1/2,b=±√7/2或a=1,b=0
能因为A²=A可以得到A是可逆的然后在左右两式的左边乘上A的负一次方就可得到结果A=E再问:怎么判断一个矩阵是否可逆,除了行列式为0再答:因为A²=A就说明了该矩阵可逆再答:再答:
由于(A+2E)(A-2E)=A^2-4E=-3E,所以(A+2E)(-A/3+2E/3)=E,因此A+2E可逆.
若A不可逆,则|A|=0.因为AA*=|A|E,所以AA*=0,又A*可逆,则A=0,这与A*可逆矛盾.所以A可逆
反证法:设A为实对称矩阵,并且A不等于零,不妨设A的第i行有一个非零元素,则A的平方的第i行第i列处的元素是A的第i行元素的平方和,由前面的假设,A的平方将不等于零,矛盾.
满足A^H*A=A*A^H的叫正规阵,Hermite阵只是一种特殊的正规阵,反Hermite阵和酉阵也满足这种性质.
X=A^HA是Hermite半正定阵,可以做谱分解X=QDQ^H然后取B=QD^{1/2}Q^H即可,其中D^{1/2}由对D的对角元开方获得A非奇异等价于B非奇异,在半正定条件下非奇异等价于正定,所
A*(A^H)是Hermite半正定矩阵,用一下谱分解定理直接就出来了.
归纳法+行列式展开
|2A*|=2^3|A*|=8|A|^(3-1)=8*2^2=32用到2个性质1.|kA|=k^n|A|2.|A*|=|A|^(n-1)
拿你这题来说等式右边凑出一个k*E等式左边凑出一个(A+E)(A+mE)既(A+E)(A+mE)=kE然后拆开:A^2+(m+1)A+mE-kE=0与A^2-A=0比较系数得m+1=-1m-k=0求出
1.A^2=A,即是A^2-A=0,即A(A-E)=0,所以R(A)+(A-E)小于或等于n,又因为A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)=R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A
带入验证.因为det(I-A)=det((A(AT))-A)=det(A(AT-I))=det(AT-I)=det(A-I)=-det(I-A)(说明AT表示A的转置),所以det(I-A)=0,所以
这个可以直接用定义来证明,A^H的行秩和A的列秩相同也可以用极大非零子式来证明但是1楼的证明完全错误,从存在一个A满足r(A)=m,r(A^T)=m+1无法推出r((A^T)^T)也有同样性质.